Intervalle à trouver

Bonjour, etanche la longueur minimale est $0.75$ pour $[a,b]=[0;\frac{3}{4}]$? et ceci si $x_0\in[0,0.5]$ quelconque (si j'ai compris correctement...)

Pour la borne $0$ elle découle en prenant $x_0\to 0$.

Pour la borne supérieur, il suffit de voir deux cas
Cas 1 $ \quad$ $0<x_0=e\le 0.5$ on remarque que la suite est strictement croissante et la croissance à chaque étape (recursivement) dépend de la valeur ou magnitude de $x_0$. Plus $x_0$ est grande plus la différence $x_{n+1}-x_n$ est grande (et vice versa). Ceci est vrai jusqu'à $x_n$ dépasse $0.5$. (La suite ressemble à une suite géométrique de raison $\frac{3}{2}$ multiplié par $e=x_0$)

Cas 2 $\quad$ $x_{j-1}=0.5-k$ et $x_j=0.5+h\ge 0.5$ pour un certain $j$. $$x_j=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}k$$ et $k\le\frac{1}{6}$.

Dans la suite $x_{j+1}=3/4-3/2h$, $h$ peut être très petit en adjustant $e$ vers $0$. D'ou la borne supérieur.
Pour finir si $x_{j+1}=3/4-3/2h\ge 0.5$, $x_{j+2}=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}(0.25-\frac{3}{2}h)\le 0.75$.
Et ainsi on revient au cas 1 si $x_{j+2}\le 0.5$ et à $x_{j+1}$ si $x_{j+2}\ge 0.5$.

Edit

Bonjour, oui $x_0$ est quelconque donc dans $[0;1]$
Je n'ai pas mis le cas $x_0=e\in [0.5,1[$ mais ça devrait aller dans la même demarche que la longueur minimale de l'intervalle $[a,b]$ est 0.75..

Si j'ai bien compris la question est pour n'importe quelle $x_0$ choisis quelle est le segment de longueur minimale tel que etc je vais éditer.

Du coup si $x_0=e\in[0.5,1[$ avec $e=0.5+k$, $0\le k<0.5$, $$x_1=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}k$$ qu'on peut approcher de $ 0$ quand $k\to 0.5$. Soit $x_0\to 1$ et $x_1\to 0$ donc la longueur de l'intervalle est $1$?
Edit

Ou bien la question suivante: choisir $x_0$ pour que $x_n\in [a,b]$ pour tout $n\ge 0$ et $[a,b]$ de longueur minimale. Ce qui est résolu par Rieman-lapins cretins avec la suite stationnaire $x_0=3/5$.
Cordialement.