Curiosité

etanche · August 2021

Bonjour
On remarque $\dfrac{\pi^9}{e^8} \sim 9,999838\ldots$ très proche de $10$.
Existe-t-il d’autres entiers $a>0,\ b>0$ tels que $\dfrac{\pi^a}{e^b}$ soit très proche d’un entier ?

Merci.

zeitnot · August 2021

Oui avec $a=18$ et $b=16$, on est proche de 100. :-D

JJ · August 2021

Bonjour,

sans se fatiguer ni perdre trop de temps, il est aisé de répondre à la question en faisant faire le travail par notre ordinateur personnel.

Il trouvera même des réponses avec moins d'écart entre la valeur réelle et son approximation entière.

$a=9\quad;\quad b=8 \quad; \quad\text{écart} = 0,000161..$

$a=164\quad;\quad b=169 \quad; \quad\text{écart} = 0,000055..$

$a=785\quad;\quad b=872 \quad; \quad\text{écart} = 0,000027..$

Etc.

C'est l'occasion pour répéter que de telles coïncidences ne sont pas rares. Par exemple dans un autre domaine on trouve de nombreuses coïncidences avec le nombre $\pi$. Voir : http://www.contestcen.com/pi.htm

Un article de vulgarisation au sujet des "coïncidences numériques" : https://fr.scribd.com/doc/14161596/Mathematiques-experimentales

ev · August 2021

En se fatigant encore moins et en faisant bosser Wims, on trouve les réduites du développement en fraction continue de $ \ln(\pi) $ :
\[ \frac{7}{6}, \; \frac{8}{7}, \;\frac{87}{76}, \;\frac{2096}{1831}, \;\frac{2183}{1907}, \;\frac{8645}{7552}, \;\frac{10828}{9459}, \;\frac{116925}{102142}, \;\frac{2583178}{2256583} ,\ldots

\] e.v.