Racines d'une équation transcendante
dans Analyse
Bonsoir à tous,
- Existe-t-il une méthode numérique pour calculer approximativement une racine d'une équation de la forme, $ f(x) = 0 $ avec, $ f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ définie par $$ f(x) = \tan (x) - x \qquad ?
$$- Existe-t-il une méthode numérique pour calculer approximativement toutes les racines d'une équation de la forme, $ f(x) = 0 $ avec, $ f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ définie par $$ f(x) = \sin (x) - \frac{1}{6} x^3 \qquad ?
$$ Merci d'avance.
- Existe-t-il une méthode numérique pour calculer approximativement une racine d'une équation de la forme, $ f(x) = 0 $ avec, $ f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ définie par $$ f(x) = \tan (x) - x \qquad ?
$$- Existe-t-il une méthode numérique pour calculer approximativement toutes les racines d'une équation de la forme, $ f(x) = 0 $ avec, $ f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ définie par $$ f(x) = \sin (x) - \frac{1}{6} x^3 \qquad ?
$$ Merci d'avance.
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Réponses
Apprends les maths de fin de lycée et début de supérieur.
NB : Ta première question est assez idiote !!! On connaît une valeur exacte.
NBB : Tes deux questions pouvaient être posées dans la classe de première que tu as fréquentée.
Pour la première question, je cherche une racine non nulle à cette équation par des méthodes approchées. Comment faire ?
Merci d'avance.
Pour $\tan(x) - x = 0$, je me souviens que quelqu'un avait fait un fil sur ça récemment 8-)
Pour les résolutions numériques, les gens qui font des études de maths (au lieu d'y rêver, j'entends...) peuvent être amenés à subir des cours d'analyse numérique dans lesquels on apprend des algorithmes pour résoudre des équations de la forme $f(x)=0$ pour toutes sortes de fonctions.
Et je te redis que c'est du niveau première. Tu prétends avoir résolu des conjectures de très haut niveau et il faudrait t'aider pour un exercice de débutant adolescent ? Non, tu n'es pas sérieux, tu es un menteur et (tes "résolutions") et un fainéant (ces questions).
Tu ne mérites aucune aide.
Toi, tu ne lis rien, tu n'apprends rien, tu ne t'exerces en rien, tu affirmes avoir résolu des problèmes du millénaire (plusieurs !) et après tu poses des questions de néophyte. Tu ne vois pas un problème là-dedans ? Je te pose honnêtement la question, tu pourrais me faire le plaisir d'y répondre...
> peuvent être amenés à subir des cours d'analyse numérique
Comment ça, subir, Homo Topi ?
Cordialement,
Rescassol
Tu conçois l'analyse numérique comme quelque chose de pénible, Homo Topi ?
Alors que c'est un domaine si riche et si agréable :-D
Il faut dire que je l'ai enseignée pendant quelques années.
Cordialement,
Rescassol
Comme quoi, des goûts et des couleurs................
De toutes façons, il ne faut pas juger une matière, quelle qu'elle soit, au mauvais souvenir qu'on a d'un prof.
Cordialement,
Rescassol
Les moyens ont changé.
En sup, j'utilisais une règle à calcul et les tables de Bouvard et Ratinet, ainsi que de Laborde.
Aujourd'hui, pour résoudre un système linéaire $1000\times 1000$, il faut mieux, et encore c'est un petit système.
Et on ne parlait pas de complexité à l'époque.
On peut dire que le cul-nu est un lointain ancêtre de l'analyse numérique.
Cordialement,
Rescassol
Concernant tes équations la méthode de Newton me semble très bien adaptée. La méthode est très efficace et simple à mettre en place. Bien entendu il y a des variantes mais à voir plus tard.
Ton équation est de la forme $f(x)=0$ et tu cherche à approximer une racine $c$ que tu as isolée dans un intervalle $[a,b]$.
L'idée consiste à dire que si $x_0\in [a,b]$ est une valeur approchée de $c$ alors
tu poses $c=x_0+h$ et puisque $f$ est dérivable on a
$0=f(c)=f(x_0+h)\approx f(x_0)+f'(x_0) h$ ($h$ étant petit car $x_0$ est "proche" de $c$)
Donc $h\approx -\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}.$
C'est à dire que $x_1=x_0+h =x_0 -\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ est un bon candidat pour être une meilleure approximation de $c$ que $x_0.$
Et tu peux réitérer le procédé pour obtenir une suite $(x_n)$ qui converge vers a.
C'est à dire que la suite $(x_n)$ est définie par son premier terme $x_0$ (dont le choix ne doit pas être fait au hasard) et par la relation de récurrence
$$x_{n+1}=x_n -\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
$$ À ta place, si tu n'a pas de notion d'analyse, je commencerai par étudier et appliquer cette méthode, puis voir les variantes (comme par exemple la méthode de la sécante..)
P.S. Je crois que Pablo demande une méthode numérique pour calculer des valeurs approchées de racines qu'on ne sait pas déterminer exactement.