Limite d’une suite

Sara1993
Sara1993
dans Analyse
Bonjour
Je bloque sur cet exo de limite d’une suite, je vous prie de m’aider un peu.

Si lim un/ n! = l avec l un réel strictement positif, calculer :
Lim (un+1)^(1/(n+1))-(un)^(1/n).
J’ai posé vn=un /n! Et j’ai montré que lim vn+1/vn=1, j’ai aussi lim un=+ infini et lim un+1/un=+ infini et lim(un)^(1/n)=+ infini mais ça ne me permet pas d’avancer.
Merci.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Hypothèse : $\dfrac{u_n}{n!}$ a pour limite $\ell$ et $\ell >0$.
    Déterminer la limite (éventuelle) de :
    $(u_{n+1})^\tfrac{1}{n+1}-(u_n)^\tfrac{1}{n}.$

    Est-ce cela ?
  • Sara1993
    Sara1993
    Oui tout à fait . Merci d’avance.
  • Audeo
    Audeo
    Bonjour,

    Partant de $\dfrac{n!}{n^{n+1/2}\mathrm e^{-n}}\to\ell\,'>0$, j'obtiens que la suite en question tend vers $\mathrm e^{-1}$.
  • Sara1993
    Sara1993
    Bonjour, oui, j’ai compris que vous avez utilisé la formule stirling, et que l’ c’est la racine carrée de 2 pi, et que après, la suite u_(n) est équivalente à n!a, Luis mais j’ai encore du flou pour continuer. Merci de me pousser encore un peu.
  • Audeo
    Audeo
    On en déduit l'existence d'un réel $c>0$ tel que $\dfrac{u_n}{n^{n+1/2}\mathrm e^{-n}}\to c$. On peut alors conclure avec les développements limités.
  • Sara1993
    Sara1993
    Merci beaucoup .
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