Injectivité d'un opérateur

Bonsoir
Je voudrais trouver des conditions optimales sur les coefficients $a,b,c,d$ tels que pour $f\in L^{2}(0,1),\ r \in\,]0,1[.$
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
af(x-r)+bf(x)=0, & \mathrm{if} & x\in\, ]r,1[ \\
& & \\
cf(x+1-r)+df(x)=0 & \mathrm{if} & x\in\, ]0,r[%
\end{array}%
\right.\quad \Longrightarrow f=0\quad?


$$ Voilàce que j'ai fait.
J'ai commencé à écrire l’expansion de Fourier de $f:$
$$
f(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}c_{n}e^{2in\pi x},\text{ avec }c_{n}=\int_{0}^{1}f(t)e^{-2in\pi t}dt.

$$ Le but c'est de prouver que $c_{n}=0,\ \forall n\in \mathbb{Z}.$
\begin{eqnarray*}
c_{n} &=&\int_{0}^{1}f(t)e^{-2in\pi t}dt=\int_{0}^{r}f(t)e^{-2in\pi
t}dt+\int_{r}^{1}f(t)e^{-2in\pi t}dt \\
&&\overset{\text{by definition}}{=}-\frac{c}{d}\int_{0}^{r}f(t+1-r)e^{-2in%
\pi t}dt-\frac{a}{b}\int_{r}^{1}f(t-r)e^{-2in\pi t}dt \\
&=&-\frac{c}{d}e^{-2in\pi r}\int_{1-r}^{1}f(t)e^{-2in\pi t}dt-\frac{a}{b}%
e^{-2in\pi r}\int_{0}^{1-r}f(t)e^{-2in\pi t}dt.

\end{eqnarray*} Donc,
$$
\left( 1+\frac{c}{d}e^{-2in\pi r}\right) \int_{1-r}^{1}f(t)e^{-2in\pi
t}dt+\left( 1+\frac{a}{b}e^{-2in\pi r}\right) \int_{0}^{1-r}f(t)e^{-2in\pi
t}dt=0.

$$ Par exemple, si
$$
1+\frac{c}{d}e^{-2in\pi r}=1+\frac{a}{b}e^{-2in\pi r},\quad\forall n\in \mathbb{Z},

$$ alors
$$
c_{n}=\int_{0}^{1}f(t)e^{-2in\pi t}dt=0,\quad\forall n\in \mathbb{Z}.

$$ Clairement, cette condition n'est pas optimale, avez-vous des idées ?
Merci d'avance.