Différentielle de la fonction exponentielle

Pablo_de_retour · August 2021

Bonjour
On se propose de montrer que, pour tout $ x \in \mathbb{R} $, la fonction $ f(x) = e^x $ vérifie $ f'(x) = e^x $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $.

On calcule, alors, pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $\ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{ h \to 0 } \dfrac{ e^{x+h} - e^{x}}{h} = e^x \lim_{ h \to 0 } \dfrac{ e^{h} - 1}{h} $.
Comment montre-t-on alors que, $\ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \dfrac{ e^{h} - 1}{h} = ( x \mapsto e^x ) ' (0) = f'(0) = 1 $ ?
Merci d'avance.

Homo Topi · August 2021

En apprenant la définition d'un taux d'accroissement (cours de 1ère, il me semble).

Pablo_de_retour · August 2021

Je n'ai pas compris ce que tu voulais dire @HT.
Est ce que tu peux transformer ta phrase en formules mathématiques ?
Merci d'avance.

Homo Topi · August 2021

Des formules mathématiques ne te serviraient à rien, il faut savoir faire des mathématiques pour s'en servir. Et puis, je ne vais pas faire le travail à ta place, tu es suffisamment brillant pour y arriver, vu que tu as résolu Hodge...

j'ai du mal à comprendre comment dans ton cerveau, tu rationalises le fait que tu annonces avoir résolu la conjecture de Hodge, prends des gens nettement meilleurs que toi de haut tout le temps, et après tu ne sais pas appliquer une définition de lycée.

Prends un livre de lycée et écris la formule du taux d'accroissement de l'exponentielle en $0$. Si tu y arrives sans démontrer que l'hypothèse de Riemann est vraie en route vers le résultat, tu auras peut-être fait des mathématiques.

Dom · August 2021

Question primordiale :
Qu’est-ce que c’est l’exponentielle ?
Il faut définir ce qu’est $t\mapsto e^t$ avant de vouloir en trouver des propriétés.

gerard0 · August 2021

Bonjour Pablo.

Ce que tu veux montrer est que la dérivée en 0 de l'exponentielle vaut 1. Comme tu ne peux pas utiliser la dérivée de exp (c'est la conclusion), il ne reste plus qu'à revenir à la définition de exp. Comme tu ne l'as pas donnée, difficile d'aller plus loin.
Une des définition est que c'est la solution de y'=y qui vaut 1 en 0. Dans ce cas, il n'y avait rien à montrer. Mais il y a des tas d'autres définitions.

Pablo_de_retour · August 2021

Merci beaucoup gerard. :-)
Alors d'accord. On va prendre pour définition de la fonction exponentielle, la fonction $ y $ vérifiant $ \begin{cases} y' = y \\ y(0) = 1 \end{cases} $.
Comment alors montrer que, $ y'(0) = 1 $ ?

Merci d'avance.

Edit :
Ah, d'accord, $ y'(0) = y(0) = 1 $. :-)

Poirot · August 2021

Ah oui, si on part de la définition $y'=y$ il est difficile de montrer que $\exp' = \exp$.

Amathoué · August 2021

Bonsoir Pablo,

Petit exo:
1) Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(x)=-2x^3+3x^2$.
Admet-elle un point fixe sur $]0,1[$?
Facile (niveau 1ère, level 0).
2)Généralisation : $f$ est une fonction continue sur $[0,1]$ à valeurs réelle, telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$.
Elle est en plus dérivable en $0$ et $1$ et $f'(0)=f'(1)=0$.
Admet-elle un point fixe sur $]0,1[$?
On est toujours au lycée.

Dom · August 2021

C’est un collector ce fil, non ?

Très peu de messages, on va droit à l’essentiel.
Une pépite.

Grenouille factorielle · August 2021

D'après ses hypothèses, Pablo a choisi la définition de l'exponentielle comme la fonction $f$ continue non nulle vérifiant pour tout $x,y\in R$, $f(x+y)=f(x)f(y)$ et $f(1)=e$

Dom · August 2021

Cela n’a pas été écrit (ou alors ça a disparu ?).
J’ai d’abord pensé à cette définition (équation fonctionnelle) mais après réflexion j’aurais plutôt dit $\exp=\ln^{-1}$.
En effet, le nombre $e$ arrive davantage naturellement avec $\ln$ pour ma part. Je reconnais que c’est discutable.

Amathoué · August 2021

Grenouille,

Qu'est-ce que $e$?

Grenouille factorielle · August 2021

Shannon,
$\sum{\frac{1}{n!}}$ :-D

Amathoué · August 2021

ok, j'aimerais bien savoir comment tu montres que $f(h)=_0 1+h+o(h)$...

Dom · August 2021

On a le droit de nommer $e$ le réel $f(1)$.
Pour ma part c’est le réel tel que $\ln (e)=1$.

Amathoué · August 2021

Dom, oui bien sûr. En fait, je trouve que ce choix de définition (par équation fonctionnelle) n'est pas super pratique...

Dom · August 2021

C’est parfois le début qui est choisi.

Il doit exister plusieurs documents qui recensent « toutes » les méthodes pour définir l’exponentielle.
Peut-être même qu’un fil y a été consacré sur le forum.

Homo Topi · August 2021

Tout ce que je peux dire, c'est que les gens m'ont reproché de préférer définir $\exp$ comme $\ln^{-1}$ au lieu de par sa série entière.

Grenouille factorielle · August 2021

Dom : Non, e ne doit pas dépendre de $f$, sinon la fonction $f$ n'est pas unique et peut envoyer $x$ sur $a^x$ pour tout $a$ positif strictement.
Shannon : je suis d'accord, ça n'est pas une définition pratique. Cela dit, démontrer que f est dérivable est facile, on exprime l'intégrale de $f(x+t)$, on fait sortir $f(x)$ d'un côté, de l'autre on fait un changement de variable et on obtient f(x) en fonction d'une intégrale, ça nous donne même, en itérant, le caractère $C^\infty$ de f. On obtient aussi $f'(0)$ astucieusement, je l'ai fait pour m'en convaincre (en introduisant une fonction auxiliaire)... Bref, nous sommes tous d'accord pour dire que cette définition est une des pires.

gerard0 · August 2021

Inutile de reprendre une discussion maintes fois apparue sur le forum, d'autant que c'est toujours les mêmes arguments. Pablo a trouvé (grande découverte) que si y'=y alors y'=y. Je crois que c'est exactement son niveau ce qui confirme que ses annonces de grandes découvertes ne sont que des mensonges.

Cordialement.