Intégrale et somme
Bonjour,
Je souhaite calculer $I = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\arctan \sin x}{\sin x}\,\mathrm{d}x$.
Pour cela, je note d'abord que $\quad\arctan \sin x = \displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n(\sin x)^{2n + 1}}{2n + 1},\ $ pour $x < \pi/2$ et donc $I = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n(\sin x)^{2n}}{2n + 1}\,\mathrm{d}x$.
Je rappelle aussi le résultat de Wallis $\forall n \geq 0,\ W_{2n} := \displaystyle \int_0^{\pi/2} (\sin x)^{2n}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}2 \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}$.
Puis, puisque $\displaystyle \sum_{n \geq 0} \int_0^{\pi/2} \left|\frac{(-1)^n(\sin x)^{2n}}{2n + 1} \right|\,\mathrm{d}x \leq \displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{1}{2n+1}W_{2n} = \frac{\pi}2 \displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{1}{2n + 1}\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} < +\infty$ (via Stirling ou d'Alembert par exemple), il est licite d'échanger $\sum$ et $\int$ et donc :
$I =\displaystyle \sum_{n \geq 0} \int_0^{\pi/2}\frac{(-1)^n(\sin x)^{2n}}{2n + 1}\,\mathrm{d}x = \displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n + 1}W_{2n} =\frac{\pi}2\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n + 1}\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}$.
Je «reconnais» alors le DSE de $\text{argsh}$ et un théorème d'Abel donne $I = \frac{\pi}2 \text{argsh}\, 1 = \frac{\pi}2\ln(1 + \sqrt2)$.
Y a-t-il un autre moyen de calculer cette somme/intégrale sans utiliser le DSE de $\text{argsh}$ que je ne connais pas par cœur ?
Je souhaite calculer $I = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\arctan \sin x}{\sin x}\,\mathrm{d}x$.
Pour cela, je note d'abord que $\quad\arctan \sin x = \displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n(\sin x)^{2n + 1}}{2n + 1},\ $ pour $x < \pi/2$ et donc $I = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n(\sin x)^{2n}}{2n + 1}\,\mathrm{d}x$.
Je rappelle aussi le résultat de Wallis $\forall n \geq 0,\ W_{2n} := \displaystyle \int_0^{\pi/2} (\sin x)^{2n}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}2 \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}$.
Puis, puisque $\displaystyle \sum_{n \geq 0} \int_0^{\pi/2} \left|\frac{(-1)^n(\sin x)^{2n}}{2n + 1} \right|\,\mathrm{d}x \leq \displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{1}{2n+1}W_{2n} = \frac{\pi}2 \displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{1}{2n + 1}\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} < +\infty$ (via Stirling ou d'Alembert par exemple), il est licite d'échanger $\sum$ et $\int$ et donc :
$I =\displaystyle \sum_{n \geq 0} \int_0^{\pi/2}\frac{(-1)^n(\sin x)^{2n}}{2n + 1}\,\mathrm{d}x = \displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n + 1}W_{2n} =\frac{\pi}2\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n + 1}\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}$.
Je «reconnais» alors le DSE de $\text{argsh}$ et un théorème d'Abel donne $I = \frac{\pi}2 \text{argsh}\, 1 = \frac{\pi}2\ln(1 + \sqrt2)$.
Y a-t-il un autre moyen de calculer cette somme/intégrale sans utiliser le DSE de $\text{argsh}$ que je ne connais pas par cœur ?
Réponses
-
Bonjour,
Dérivation sous le signe somme avec $\alpha \sin x$ dans l’argument de l’arc tangente. -
Bonjour,
Sauf erreur, je trouve $I'(\alpha) = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1 + \alpha^2 \sin^2 x} \,\mathrm{d}x = \int_{-1}^1 \frac{1}{(2 + \alpha^2(1 - u))\sqrt{1 - u^2}}\,\mathrm{d}u$ via $u = \cos 2x$ mais je n'arrive pas à calculer cette dernière.
J'ai aussi essayé $u = \tan x/2$ pour arriver à $I'(\alpha) = 2\displaystyle \int_0^1 \frac{1 + u^2}{(u^2 + 1 + 2 \alpha^2)^2 + 1 - (1 + 2\alpha^2)^2}\,\mathrm{d}u$ que je ne trouve pas non plus. -
La première intégrale est correcte mais je pense que tu n'utilises pas le bon changement de variable.
J'aurais plutôt utilisé $y=\tan x$.
NB:
$\displaystyle \sin^2 x=1-\cos^2 x=1-\dfrac{1}{1+\tan^2 x}$ -
\begin{align}I^{\prime} (\alpha) &= \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1 + \alpha^2 \sin^2 x} dx\\
&\overset{y=\tan x}=\int_0^\infty \frac{1}{(\alpha^2+1)y^2+1}dy\\
&= \left[\frac{\arctan\left(y\sqrt{1+\alpha^2}\right)}{\sqrt{1+\alpha^2}}\right]_0^\infty\\
&=\frac{\pi}{2\sqrt{1+\alpha^2}}
\end{align}
PS:
Après il faut intégrer entre $0$ et $1$ et on a besoin d'une fonction hyperbolique. -
Bonsoir
Je termine le travail de FDP et d'Yves.
$I(\alpha) = \frac{\pi}{2}\ln(\alpha + \sqrt{\alpha^2 + 1})$ à prendre entre 0 et 1 soit :
$$
I = \frac{\pi}{2}\ln(1 + \sqrt{2}).
$$ Résultat trouvé par sevaus.
Mais l'introduction du paramètre $\alpha$ est une vraie trouvaille et permet une résolution rapide !
Cordialement. -
Jean:
C'est un truc classique dans le calcul d'intégrales.
Certaines intégrales uni-variables ne semblent pas pouvoir être calculées sans recours à:
1)Développements en série.
2)Dérivation sous le signe intégrale.
3)Utilisation d'une intégrale double(voir point 2))
Les anglo-saxons appellent ce truc, the Feynman's trick .
(bien que Leibnitz connaissait ce truc très certainement)
On peut utiliser ce truc pour calculer $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x}{\tan x}dx$
(même si ce n'est pas ici la méthode la plus élémentaire de calcul )
On introduit la fonction $\displaystyle F(a)=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\arctan\left(a\tan x\right)}{\tan x}dx$
Plus généralement, face au calcul de $\displaystyle \int_a^b \frac{x}{h(x)}dx$ si $h:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ est une bijection continue sur son image, de réciproque continue on peut essayer d'introduire la fonction $\displaystyle F(a)=\int_a^b \dfrac{h^{-1}\left(a\cdot h(x)\right)}{h(x)}dx$ (pour $a\in[0,1]$ )
NB: Cela suppose qu'on sache calculer $\displaystyle \int_a^b \dfrac{h^{-1}(0)}{h(x)}dx$.
En particulier, si $h(0)=0$. -
Génial ton exemple FdP, je n'y aurais jamais pensé !
-
Math2:
En même temps,
\begin{align}\text{J}&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x}{\tan x}dx\\
&\overset{\text{IPP}}=\Big[x\ln\left(\sin x\right)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin x\right)dx\\
&=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin x\right)dx\\
&=-\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin x\cos x\right)dx\\
&=-\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right)dx\\
&\overset{y=2x}=-\frac{1}{4}\int_0^{\pi}\ln\left(\frac{\sin y}{2}\right)dy\\
&=\frac{1}{4}\pi\ln 2-\frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin y\right)dy-\frac{1}{4}\underbrace{\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi\ln\left(\sin y\right)dy}_{z=\pi-y}\\
&=\frac{1}{4}\pi\ln 2-\frac{1}{2}\underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin y\right)dy}_{=-\text{J}}\\
J&=\boxed{\dfrac{1}{2}\pi\ln 2}
\end{align}
On peut donc calculer cette intégrale en utilisant des méthodes élémentaires.
Par contre, je doute qu'on sache calculer l'intégrale dans le premier message par changement de variable uni-variable et par intégration par parties. -
Un autre exemple:
\begin{align}J=\int_0^1 \frac{x-1}{\ln x}dx\end{align}
On introduit la fonction $F$ définie sur $[0,1]$ par:
\begin{align}F(a)&=\int_0^1 \frac{\text{e}^{a\ln x}-1}{\ln x}dx\\
F^\prime(a)&=\int_0^1 x^a dx\\
&=\frac{1}{1+a}\\
J&=F(1)-F(0)\\
&=\int_0^1 \frac{1}{1+a}da\\
&=\boxed{\ln 2}
\end{align}
PS:
\begin{align}J&\overset{y=-\ln x}=\int_0^\infty \frac{\text{e}^{-y}-\text{e}^{-2y}}{y}dy\end{align}
Et on peut utiliser sans doute le théorème de Frullani-Cauchy. -
@Fdp tu devrais créer un fil "trucs et astuces pour calculer des intégrales".
Au début de mes études j'aimais bien calculer des intégrales, puis c'est passé. Mais je ne connaissais de loin pas toutes ces subtilités. Aujourd'hui, même en te regardant faire Fdp, le plaisir pour ce genre de calcul ne me revient pas. J'ai trop la flemme... -
Raoul.S:
Je n'ai pas les moyens (et probablement pas la condition physique) pour escalader l'Everest alors je me rattrape en escaladant des montagnes de calculs. Je suis un conquérant de l'inutile. Cela me détend de participer à ce fil. Le calcul que j'ai sur le feu en ce moment est nettement plus difficile, ou tout du moins, nécessite un temps certain* pour être rédigé électroniquement. Le forum est une source d'inspiration pour moi.
*: j'y ai passé une bonne partie de l'après-midi et je n'ai toujours pas terminé.
PS:
Il y a un regain d'intérêt depuis le début des années 2000 pour ces questions me semble-t-il.
Grâce aux logiciels de calcul formel on peut explorer ce domaine et (re)trouver des pépites.
Cela va vite d'explorer des pistes pour essayer de calculer une intégrale. A la main, cela prendrait nettement plus de temps. Quand on a trouvé une méthode qui semble marcher, il y a que les calculs de cette méthode qu'il faut rédiger proprement. Les autres, qui étaient des fausses pistes, restent dans le cache du logiciel de calcul formel.
Ne pas oublier, qu'il est facile, en général, de vérifier qu'une fonction est bien une primitive d'une autre: peu importe comment vous l'avez obtenue, si sa dérivée coïncide avec votre fonction de départ, cela justifie votre calcul.
PS2:
Sur un forum disparu ou déserté (je ne sais plus) consacré à ce type de calculs il y avait un crash course de méthodes pour calculer des intégrales. C'était assez bien fait. Le dernier exemple donné plus haut y figurait je m'en souviens.
(mais je connais des méthodes qui n'y figuraient pas B-)- ) -
@ Fdp oui j'aurais calculé l'intégrale par l'autre moyen, je n'avais pas pensé à ta remarque générale.
C'est marrant, lorsque j'étais en prépa, j'étais réputé pour être un "as" dans le calcul d'intégrales, mais en lisant certains posts sur ce forum, et en particulier les contributions de FdP, je me rends compte que je suis au niveau $0$ :-D -
Math2:
Tu ne peux pas imaginer le temps que j'ai consacré à ce type de calculs. Ceci expliquant cela.
Et encore, je me suis surtout cantonné à un certain type d'intégrales.
J'affectionne tout particulièrement les intégrales de la forme $\displaystyle \int_0^1 R(x)\ln^p xdx$ où $R$ est une fraction rationnelle.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 3
+2 Invités