Suite et inégalité
Bonjour
Depuis hier soir, je sèche sur le fait de montrer que la suite converge. Ce matin, ayant un peu réfléchir, je me disais que si on connaissait le signe de la différence de $a_{0}$ et $a_{1}$, on pouvait avancer dans la résolution en montrant que les sous-suites $(a_{2n}))$ et $(a_{2n+1}))$ sont adjacentes mais je ne pense pas que ça soit l'esprit de l'exercice (c'est pour cela qu'on ne donne aucune information sur $a_{0}-a_{1}$ et même si c'est le cas, le cas où $a_{0}=a_{1}$ est un peu compliqué à traiter car on aurait sauf erreur $a_{n} \leq a_{0}$ pour tout $n>1$).
Je pense donc qu'il faut montrer à priori que la suite est monotone car avec l'hypothèse que $(a_{n})$ est bornée, on arrivera à conclure.
Peut-être que je dois regarder le problème autrement que de m'intéresser à la monotonie de cette suite....
Mais je bloque car je n'arrive pas à trouver quelque chose. Je demande juste une Indication et non une solution.
Merci d'avance pour votre compréhension.
Depuis hier soir, je sèche sur le fait de montrer que la suite converge. Ce matin, ayant un peu réfléchir, je me disais que si on connaissait le signe de la différence de $a_{0}$ et $a_{1}$, on pouvait avancer dans la résolution en montrant que les sous-suites $(a_{2n}))$ et $(a_{2n+1}))$ sont adjacentes mais je ne pense pas que ça soit l'esprit de l'exercice (c'est pour cela qu'on ne donne aucune information sur $a_{0}-a_{1}$ et même si c'est le cas, le cas où $a_{0}=a_{1}$ est un peu compliqué à traiter car on aurait sauf erreur $a_{n} \leq a_{0}$ pour tout $n>1$).
Je pense donc qu'il faut montrer à priori que la suite est monotone car avec l'hypothèse que $(a_{n})$ est bornée, on arrivera à conclure.
Peut-être que je dois regarder le problème autrement que de m'intéresser à la monotonie de cette suite....
Mais je bloque car je n'arrive pas à trouver quelque chose. Je demande juste une Indication et non une solution.
Merci d'avance pour votre compréhension.
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Réponses
En considérant la suite $(b_{n})$ définie par $b_{n}=a_{n+1}+\frac{2}{3}a_{n}$.
On arrive à montrer que cette suite converge vers un réel $b$ ( Décroissante et bornée via l'inégalité trangulaire)
Donc si $(a_{n})$ converge, alors $b=\frac{5}{3}.a$, je vais continuer mon raisonnement...
Je n'ai pas pu montrer convenablement que la suite $(a_{n})$ tend vers $\frac{3}{5}b$, la première idée de la preuve était de réaliser une majoration de $|a_{n}-a|$ en s'appuyant sur : la définition de la limite pour la suite $(b_{n})$ et utiliser le fait que $|x|-|y| \leq |x-y|$.
Toujours pour montrer que la suite $(a_{n})$ converge vers $\frac{3}{5}b$, je l'avoue n'avoir pas compris l'enchaînement des raisonnements du point $b$ avec l'introduction des suites $(c_{n})$ et $(d_{n})$. J'entends par là que j'aimerais bien comprendre pourquoi l'auteur a eu ces deux idées svp.
Merci d'avance pour votre aide.
Si une suite bornée de réels admet une unique valeur d'adhérence $l$ alors la suite $(u_{n})$ converge vers $l$.
Dans notre cas, il s'agit de montrer que tous les sous-suites de $(u_{n})$ convergent vers $l$, mais l'enchaînement de certains raisonnements sont encore flous (je parle de l'essence de vouloir construire les deux suites $(c_{n})$ et $(d_{n})$)
On pose $b'_n=b_n-b$, $a'_n=a_n-\dfrac35b$ et à l'aide de la relation $a'_{n+1}=b'_n-\dfrac23a'_n$ on montre par récurrence sur $p$ :$a'_{n+p}=\displaystyle\sum_{k=1}^p\left(-\dfrac23\right)^{k-1}b'_{n+p-k}+\left(-\dfrac23\right)^pa'_n$.
Avec $|b'_n|\leq\varepsilon$ pour $n\geq n_0$ et $a'_n$ bornée on obtient $|b'_n|\leq4\varepsilon$ pour $n\geq n_1$.
J'ai pu comprendre cette idée mais je parlais du raisonnement que j'ai mis en capture.
Voici ce que je comprends tout en m'appuyant sur ce que j'avais dit dans mon message précédent.
On considère $A=\{c \in \mathbb{R}\mid\exists \phi \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}},\ (u_{\phi(n)})\to c \},$ où $\phi$ est une extractrice.
On veut montrer que cet ensemble est réduit à un singleton, puisque pour tout $n>0$, on a $u_{\phi(n)-1}=\frac{3}{2}(b_{\phi(n)-1}-a_{\phi(n)})$, cette dernière relation nous permet de calculer de proche en proche les éléments de l'ensemble $A$, via la relation de récurrence $c_{0}=c$ et $c_{n+1}=\frac{2}{3}(b-c_{n})$. Si la suite est constante, on a notre résultat, sinon on cherche une expression de $(c_{n})$.
Nous sommes en présence d'une suite arithmético-géométrique, donc on recherche un point fixe qui est $\frac{3}{5}b$ (ça fait partie de la démonstration du cours donc c'est juste une adaptation).
On introduit donc la suite $(d_{n})$ définie par $d_{n}=c_{n}-\frac{3}{5}b$ afin d'en déduire une expression de $c_{n}$.
On arrive donc à $c_{n}=(\frac{-3}{2})^{n}d_{0}+\frac{3}{5}b$.
Je crois que c'est de cette manière que nous sommes arrivés au résultat que l'on cherchait.
Pouvez-vous me dire si je suis sur la bonne voie ?
$ \bullet $ Soit donc une suite réelle $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ telle que : $\forall n \in \mathbb N, a_{n+2} \le \frac13 a_{n+1}+ \frac 23 a_{n}$.
Posons $x_n = \textrm {max}(a_n,a_{n+1})$. On voit assez vite que la suite $x_n$ est décroissante (au sens large).
$ \bullet $ Si la suite $a_n$ est minorée par hypothèse, alors $x_n$ l'est aussi, et $x_n $ converge donc vers une limite $\ell$, et $x_n \ge \ell$.
Peut-on avoir $a_{n+1}<3\ell -2 x_n$ pour un $n \in \mathbb N$ ? Dans ce cas on aurait : $a_{n+1}<3\ell -2\ell=\ell \le x_n$, d'où $x_n=a_n$, et par suite :
$a_{n+2} \le \frac13 a_{n+1} + \frac23 a_n < \frac13(3 \ell -2a_n) + \frac23 a_n = \ell$. Et enfin : $x_{n+1} = \textrm {max}(a_{n+1},a_{n+2}) < \ell$, impossible.
On a ainsi prouvé que : $a_{n+1} \ge 3\ell -2 x_n$ pour tout $n \in \mathbb N$.
On en déduit, pour tout $n \in \mathbb N^*$ : $3 \ell - 2x_{n-1} \le a_n \le \textrm {max}(a_{n-1},a_{n})=x_{n-1}$.
En passant à la limite quand $n \rightarrow +\infty$, on conclut : $\lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=\ell$.
$ \bullet $ On montre assez vite que si la suite $a_n$ n'est pas minorée, alors elle tend vers $- \infty$.
$ \bullet $ Ce raisonnement s'étend mot pour mot à toute suite réelle $a_n$ pour laquelle il existe un $\lambda \in ]0,1[$ tel que : $\forall n \in \mathbb N, a_{n+2} \le \lambda a_{n+1}+ (1- \lambda) a_{n}$. L'énoncé dit que c'est une « suite sous-convexe », mais impossible de trouver de référence pour ce terme, même avec « subconvex sequence » (?). Je sais par contre ce qu'est une suite convexe, mais ce n'est pas ça.
Bonne après-midi. Le temps est à la sieste.
Fr. Ch.
12/08/2021
Pour répondre au message précédent celui de Chaurien : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2287624,2287712#msg-2287712
Si $\lvert c_n \rvert \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} + \infty$, puisque chaque $c_n$ est valeur d'adhérence de $a$, on peut trouver des termes de la suite $a$ (ce que vous entendiez par "des réels" ?) de valeur absolue aussi grande que l'on veut, ce qui impliquerait effectivement que $(a_n)$ n'est pas bornée.
(Pour détailler un peu : si $\forall n \in \mathbb{N},\ \lvert a_n \rvert \leq M$, on prend un entier $k$ tel que $\lvert c_k \rvert \geq M + 1$, et $c_k$ étant valeur d'adhérence de $a$, on a un terme de la suite $a$ qui est à distance d'au plus $\frac{1}{2}$ de $c_k$, donc qui est de valeur absolue $> M$, contradiction).
Donc mes explications sont justes avec mon ensemble $A$ que j'ai défini.
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite réelle; on suppose qu'il existe un réel $\alpha\in\left]0,1\right[$ tel que pour tout $n$, $u_{n+1}+\alpha u_{n}\leq0$.
Alors la série $\sum u_{n}$ est soit convergente, soit tend vers $-\infty$.
.
Mais cette démonstration ne s'applique plus à la généralisation à une suite vérifiant $\forall n \in \mathbb N, a_{n+2} \le (1-\lambda) a_{n+1}+ \lambda a_{n}$ avec $-1<\lambda<1$ (j'ai changé $\lambda$ en $1-\lambda$ dans la condition donnée par Chaurien) dans le cas où $\lambda<0$.
On peut montrer en considérant la suite $b_n=a_{n+1}+\lambda a_n$ que soit la suite $(a_n)$ converge, soit elle diverge vers $-\infty$.
Le cas où elle converge peut se traiter comme je l'ai expliqué dans ce message plus haut.
Le cas où elle diverge est un peu plus compliqué à justifier quand $-1<\lambda<0$.
Après lecture, j'ai des questions.
1) Pourquoi avoir posé $x_{n}=\max(a_{n},a_{n+1}) \ ?$
2) Pourquoi avoir regardé qu'on ne peut pas avoir $a_{n+1} \ell-2x_{n}\ ?$
3) J'ai comme l'impression que Chaurien savait d'avance que la suite $(a_{n})$ tendait vers $\ell,$ n'est-ce pas ?
comme $x_{n} \geq l$ on a $x_{n+1} \geq l$ donc $a_{n+1} \geq l$ ou $a_{n+2} \geq l$.
Si $a_{n+2} \geq l$ alors $3l-2x_{n} \leq a_{n+1}$
Si $a_{n+1} \geq l$, on ne peut rien dire sur $a_{n+2}$ et $l$ , je veux dire par là qu'on ne sait pas si $a_{n+2} < l$ ou $a_{n+2} \leq l$
De tout ce qui précède est-ce pour ça que Chaurien a regardé ce qui se passait si on supposait $3l-2x_{n} > a_{n+1}$?
En arrière-plan d'une telle question, il y a l'idée plus ou moins explicite que tout problème devrait avoir une solution qu'on pourrait trouver par déductions. C'est une grande idée fausse. Si c'était le cas il n'y aurait pas de conjectures qui résistent des années, des décennies, des siècles. On cherche, on ne trouve pas, on trouve. L'un ne trouve pas, et l'autre trouve, car nous ne sommes pas tous d'une force égale, et nous avons des domaines différents d'intérêt et de compétence.
C'est à chacun de délimiter ses domaines d'étude préférés, et dans ces domaines, plus il travaillera, et plus il sera capable d'affronter des problèmes, dans le cadre de ses limites personnelles.
Bonne journée.
Fr. Ch.
.
C'est noté :-D
L'exposé déductif, c'est le produit fini de la recherche, mais la recherche elle-même fait appel à d'autres structures de pensée, analogiques, intuitives, etc. Présentement, j'avais retrouvé miraculeusement un problème voisin dans le fouillis de mes papiers et je l'ai adapté.
Ça me fait penser à un joli exercice, rappelé récemment par Eric.$\bullet$ Soit un anneau $A$, dont l'élément-unité est noté $1$, soient $a\in A$ et $b\in A$.
Démontrer que si $1-ab$ est inversible, alors $1-ba$ l'est aussi.Pour trouver, il est recommandé de penser à une série, ce qui pourtant n'a apparemment rien à voir avec le cadre de cet exercice.
Bonne journée.
Fr. Ch.