Exponentielle d'une intégrale

L2M
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dans Analyse
$\require{cancel}$Bonsoir
Une intégrale est la limite d'une somme de termes. Je me demande est-ce qu'il n'y a pas un théorème qui permet d'intervertir de calculer l'exponentielle d'une l'intégrale. De genre : $ \cancel{\exp \int f = \int S(f) }$
$$ \exp \int f = ...
$$ Merci.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Bien sûr, il suffit d'écrire $$\exp \int_I f(t) \,\mathrm{d}t = \int_0^1 \left(\exp \int_I f(t) \,\mathrm{d}t\right) \,\mathrm{d}x.$$
  • L2M
    L2M
    Nous avons $$\psi(x) = \frac{d}{dx} \ln(\Gamma(x)).$$ Donc $$\Gamma(x) = \exp \int \psi(x) dx.

    $$ Existe-t-il un moyen de retrouver l'expression de $\Gamma$ à partir de celle de $\psi$ ? $$
    \psi(x) = -\gamma + \int_{0}^{\infty} \frac{1 - e^{(1-x)t}}{e^{t} - 1} dt.$$
  • gerard0
    gerard0
    Attention aux notations floues : $\exp \int f$ n'a pas trop de sens, quand on sait qu'ajouter une constante dans l'exponentielle change fortement sa valeur.

    Ensuite, $\psi(x) = \frac{d}{dx} \ln(\Gamma(x))$ ne définit pas $\Gamma$, il manque un renseignement, par exemple une valeur de $\Gamma(x)$ pour un x donné.

    Cordialement.
  • L2M
    L2M
    gerard0 : Merci pour la précision.

    Je voulais juste savoir s'il existe un sujet qui parle de ceci.

    D'après la propriété $\displaystyle \exp \sum_{k=1}^{n} u_{n,k}(x) = \prod_{k=1}^{n} \exp {u_{n,k}(x)}$, et si on passe à la limite on aura $\displaystyle \exp \int_{I} = ...$.
  • gerard0
    gerard0
    Problème : Une intégrale n'est pas une somme finie mais une limite de sommes, et donc tu veux parler de l'exponentielle d'une série, connue classiquement comme un produit infini. Mais classiquement aussi, on traite les produits infinis en prenant leur log pour se ramener à une série.
    Mais pour une intégrale obtenue comme valeur d'une de ses séries de Riemann, rient ne t'interdit d'écrire le résultat (exp est continue, le passage à la limite ne pose pas de problème). Amuse-toi bien !
  • Renart
    Renart
    Tu peux aller chercher du côté des intégrales produit. Mais en général on cherche plutôt à passer d'un produit à une somme que l'inverse et ton intégrale s'exprime déjà comme
    \[
    \exp\int_a^b \psi(t) \mathrm dt = \exp \int_a^b \frac{\Gamma'(t)}{\Gamma(t)} \mathrm dt = \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)}
    \]
    ce qui est à peu près le plus sympathique qu'on puisse attendre, cf. la partie "fundamental theorem" de la page wikipédia ci-dessus.
  • L2M
    L2M
    Renart : C'est exactement ce que je voulais savoir. C'est la première fois que j'entends parler d'intégrales produit.
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