Exemple suite de fonctions

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dans Analyse
Bonjour, est-ce que vous avez un exemple simple d'une suite de fonctions qui ne converge pas uniformément mais converge ponctuellement et telle que l'intégrale de la limite ne soit pas égale à la limite de l'intégrale? Merci.

Réponses

  • marco
    marco
    Par exemple sur $[0,1]$, la suite $(f_n)$ définie par, pour tout $n>0$, $f_n(x)=0$ si $x>1/n$, $f_n(x)=n^2x$ si $0\leq x \leq 1/(2n)$, et $f_n(1/(2n)+x)=n/2-n^2x$ si $0\leq x \leq 1/(2n)$.

    Alors $(f_n)$ tend vers la fonction nulle ponctuellement mais pas uniformément.
    L'intégrale de $f_n$ est $1/4$, mais l'intégrale de la limite de $(f_n)$ est $0$.
  • ev
    ev
    Une bosse glissante:

    $u_n$ est continue, affine par morceaux
    $u_n(x) = n^2x$ sur $[0,2/n]$,
    $u_n(1/n)=-n^2x+c_n$ sur $[2/n,1/n]$,
    $u_n(x) = 0$ sur $[1/n,1]$.

    e.v.

    [ J'ai la même que Marco, que je salue ]
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Dom
    Dom
    J’avais un truc en tête, sur [0,1].
    Que des triangles dont le sommet est d’ordonnée 1.
    Un seul : abscisse du sommet 1/2
    Trois : abscisses 1/4, 1/2, 3/4
    Puis on ajoute des sommets entre les autres mais en gardant les existants à chaque itération de sorte que la limite existe bien (elle vaut 0 ailleurs des sommets et 1 en ces sommets).

    Bon, je préciserai, là je ne suis pas convaincant…
  • Code_Name
    Code_Name
    Merci, j'ai pris celle de marco :-).
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