Développement asymptotique
Bonjour
Dans un exercice d'oral ENTPE MP, on définit la suite (In) par : pour tout entier naturel n, In = intégrale de 0 à 1 de x^n/(1+x) dx.
Il est demandé de trouver a et b réels tels que In = a/n + b/n² + o(1/n²).
Ma démarche : on prouve la décroissance de (In) et le fait que In+ In+1 = 1/(n+1) conduisent sans peine à In équivaut à 1/2n au voisinage de l'infini, donc In = 1/2n + o(1/n).
Comment obtenir le terme en 1/n² ? J'ai posé un = In - 1/2n mais là je patine, j'arrive seulement à un encadrement grossier :
-1/2n(n+1) <=un<=0.
Merci pour votre réponse et belle journée à tous.
gauss.
Dans un exercice d'oral ENTPE MP, on définit la suite (In) par : pour tout entier naturel n, In = intégrale de 0 à 1 de x^n/(1+x) dx.
Il est demandé de trouver a et b réels tels que In = a/n + b/n² + o(1/n²).
Ma démarche : on prouve la décroissance de (In) et le fait que In+ In+1 = 1/(n+1) conduisent sans peine à In équivaut à 1/2n au voisinage de l'infini, donc In = 1/2n + o(1/n).
Comment obtenir le terme en 1/n² ? J'ai posé un = In - 1/2n mais là je patine, j'arrive seulement à un encadrement grossier :
-1/2n(n+1) <=un<=0.
Merci pour votre réponse et belle journée à tous.
gauss.
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Réponses
Deux intégrations par parties (et une majoration d’intégrale) devraient permettre de conclure.
je propose une solution basée sur les séries numériques :
l'intégrale I(n) s'écrit : $\int_0^1\frac{x^n}{1+x}dx = \int_0^1(x^n - x^{n+1} + x^{n+2} - x^{n+3} +........)dx$
soit encore sous forme de développement rationnel :$\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+3} +........$
ou encore en mettant 1/(n+1) en facteur : $\frac{1}{n+1}[1 - \frac{n+1}{n+2} + \frac{n+1}{n+3} - \frac{n+1}{n+4} + ........]$
et en décomposant chaque fraction il vient 2 séries à l'intérieur du crochet :
$I(n) = \frac{1}{n+1}[1 - 1 + 1 - 1 + .....+ \frac{1}{n+2} - \frac{2}{n+3} + \frac{3}{n+4} - \frac{4}{n+5} +.........]$
et compte tenu du résultat 1/2 de la première série et en prenant les équivalents asymptotiques des fractions de la seconde série il vient :
$I(n)$ équivalent à $\frac{1}{n}[\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - \frac{5}{n} + .........]$ soit encore $I(n)$ équivalent à
$$\frac{1}{2n} + \frac{1}{4n^2}$$
en effet on a reconnu la série numérique $\frac{1}{4} = 1 - 2 + 3 - 4 +......$ qui représente le premier nombre de Bernoulli
Cordialement
Il suffit de réaliser deux intégrations par parties:
Dans un premier temps, si on pose $v':=x^{n}$ et $u:=\frac{1}{1+x}$
Puis on pose $f':=x^{n+1}$ et $g:=\frac{1}{(x+1)^2}$.
on trouve que $I_{n}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{4n^2}+J_{n}$ où $J_{n}=o(\frac{1}{n^2})$
HT, comment obtiens-tu le 5 au numérateur?
En supposant que je n'ai pas fait d'erreur de calcul, j'ai juste majoré l'intégrale par $1$ comme un bourrin.
EDIT : je crois que je sais pourquoi ça ne marche pas. Mais je n'ai pas encore trouvé comment faire un truc qui marche, alors.
Puisque la méthode a été détaillée, je propose mes calculs. Je trouve quant à moi un signe moins:
$ I_n = \displaystyle \int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx = [ \frac{x^{n+1}} {(n + 1)(1 + x)} ]_0^1 + \frac{1}{n + 1} \int_0^1 \frac{x^{n + 1}}{(1 + x)^2} dx $, et:
$ \displaystyle \int_0^1 \frac{x^{n + 1}}{(1 + x)^2} dx = [ \frac{x^{n+2}}{(n + 2)(1 + x)^2} ]_0^1 + 2 \int_0^1 \frac{x^{n+2}}{(n + 2)(1+x)^3} dx$, donc:
$I_n = \frac{1}{2(n + 1)} + \frac{1}{n + 1} ( \frac{1}{4(n + 2)} + o(\frac{1}{n}))$.
Or $\frac{1}{2(n + 1)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n^2} + o(\frac{1}{n^2})$ et $\frac{1}{n + 1} \times \frac{1}{4(n + 2)} = \frac{1}{4n^2} + o(\frac{1}{n^2})$
Donc $I_n = \frac{1}{2n} - \frac{1}{4n^2} + o(\frac{1}{n^2})$.
Ceci est cohérent avec la formule $I_n + I_{n - 1} = \frac{1}{n}$ qui implique $0 < 2I_n \leq I_n + I_{n - 1} = \frac{1}{n}$ donc $0 < I_n \leq \frac{1}{2n}$.
Le truc qui m'intrigue le plus dans ce que tu as écrit, et ce n'est pas une blague, c'est le $\dfrac{1}{2(n+1)} = \dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{2n^2} + o \Big( \dfrac{1}{n^2} \Big)$. D'où ça sort ???
Sinon directement via $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - ...$ si $ \lvert x \rvert < 1$ ce qui fournit en fait un développement limité en 0.
Il existe une formule générale qui fait intervenir les puissances de $2n+1$ : $I_n=\displaystyle\sum_{k=0}^p\dfrac{(-1)^ke_{2k}}{(2n+1)^{2k+1}}+o\left(\dfrac1{(2n+1)^{2p+1}}\right)$
où les $e_{2k}$ sont les nombres d'Euler qui apparaissent dans le développement en série entière $\dfrac1{\cos x}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}e_{2k}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}$.
Le développement asymptotique des $\frac 1{(n+1)(n+2)...(n+p)}$, dans l'échelle des $\frac 1{n^q}$, quand $n \rightarrow +\infty$, est donné par le développement en série entière des $\frac 1{(1-x)(1-2x)...(1-px)}$, qui a pour coefficients les nombres de Stirling de seconde espèce.
En effet, soit $\displaystyle R_{n,p}=\int_{0}^{1}\frac{x^{n+p}}{(1+x)^{p+1}}dx=o(1)$ quand $n\rightarrow
+\infty $. Alors l'IPP donne : $R_{n,p}=\frac{1}{2^{p}(n+p+1)}+\frac{p+1}{n+p+1}R_{n,p+1}$,
D'où : $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{1+x}dx=R_{n,0}=\overset{p}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{(k-1)!}{%
2^{k}(n+1)(n+2)...(n+k)}+\frac{p!}{(n+1)(n+2)...(n+p)}R_{n,p}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\displaystyle =\overset{p}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{(k-1)!}{2^{k}(n+1)(n+2)...(n+k)}+o(\frac1{n^p})$.
Mais ce développement n'apparaît pas spontanément comme combinaison linéaire des $\frac1{n^q}$, et c'est bien là l'ennui.
Bah, ça nous fait une occasion de calculer.
Bonne journée, enfin estivale.
Fr. Ch.
Voir les posts de tolaso et de Lucian
Une expression avec la fonction psy
Le point de départ est le changement de variable $x=e^{-t/n}$ qui conduit à $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{1+x}dx=\dfrac1{2n}\int_0^{+\infty}e^{-t}(1-\tanh\dfrac t{2n})dt$.
La formule de Taylor avec reste intégral donne $\tanh x=\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\dfrac{a_k x^{2k+1}}{(2k+1)!}+R_p(x)$ avec $a_k=\tanh^{(2k+1)}(0)$ et $|R_p(x)|\leq M_{2p}\dfrac{ x^{2p}}{(2p)!}$ puisque la dérivée $2p$-ème de la fonction $\tanh$ est un polynôme en $\tanh x$ et que $|\tanh x|\leq1$.
On en déduit en posant $x=\dfrac t{2n}$ et en intégrant : $I_n=\dfrac1{2n}-\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\dfrac{a_k}{(2n)^{2k+2}}+o\left(\dfrac1{(2n)^{2p}}\right)$.
Les nombres $a_k$ sont connus puisque $a_k=(-1)^kT_{2k+1}$ où les $T_{2k+1}$ sont les nombres tangents (c'est la suite A182 de l'OEIS) : $\tan x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{T_{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k+1}$ pour $|x|<\dfrac{\pi}2$. On les calcule par la récurrence $\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k{2n+1\choose 2k+1}T_{2k+1}=1$.
Si on considère maintenant la suite $J_n=\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{1+x^2}dx$, le même changement de variable conduit à $J_n=\dfrac1{2n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{\cosh\dfrac t{2n}}dt$.
La formule de Taylor appliquée à la fonction $x\mapsto\dfrac1{\cosh x}$ conduit au développement asymptotique :
$J_n=\displaystyle\sum_{k=0}^p\dfrac{b_k}{(2n)^{2k+1}}+o\left(\dfrac1{(2n)^{2p+1}}\right)$ avec $b_k=\left(\dfrac1\cosh\right)^{(2k)}(0)=(-1)^k e_{2k}$ où les $e_{2k}$ sont les nombres sécants d'Euler (c'est la suite A364 de l'OEIS) : $\dfrac1{\cos x}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{e_{2k}}{(2k)!}x^{2k}$ pour $|x|<\dfrac{\pi}2$. On les calcule avec $e_0=1$ et la récurrence $\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k{2n\choose 2k}e_{2k}=0$ si $n\geq1$.
Edit : on est sur un compact, je suis rouillé, oubliez-moi svp... B-)
@Victor2N
$$0 \leq \int_0^1 \frac{x^{n+2}}{(1+x)^3}dx \leq \int_{0}^{1} x^{n+2} dx = \frac{1}{n+3}.
$$ Donc l’intégrale tend vers 0.