Continuité d'une fonction à variable réelle

Marie Soleil · August 2021

Bonjour,

Je bloque sur un exercice dont l'énoncé est le suivant.

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. On suppose que :
$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \
x \neq y \implies \min (f(x),f(y)) \leq \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \leq \max (f(x),f(y)).$

Montrer que $f$ est continu.

Pourriez-vous s'il vous plaît me donner une indication ?

Merci d'avance,

Marie.

Homo Topi · August 2021

Il faut mettre des dollars autour de ton code $\LaTeX$

Riemann_lapins_cretins · August 2021

Je réponds pour saluer cette grande guerre Latex menée en 14 batailles.

Le max de ton inégalité avec epsilon majore f(a), donc en repassant tout sauf x-a de l'autre côté tu as une majoration de cette quantité indépendante de x.

Marie Soleil · August 2021

Merci de ta réponse, mais je me suis rendu compte que le delta utilisé dans mon inégalité dépendait à la fois de a et x.

Je vais essayer de résoudre le problème sans passer par la définition de la continuité.

D'ailleurs ça me permettrait ensuite de montrer que $f$ est dérivable et de la forme (edit) $f : x \mapsto \exp (x)c$ où $c$ est une constante.

Marie Soleil · August 2021

En fait c'est bon j'ai trouvé. Merci quand même.

Frédéric Bosio · August 2021

Attention, les fonctions qui vérifient tes inégalités sont les solutions de $f' = f$, soit les $x \mapsto \lambda \exp(x)$ pour $\lambda $ réel. Les fonctions de la forme $x \mapsto \exp(x+c)$ n'en forment qu'une partie.

Marie Soleil · August 2021

Ah oui je n'ai pas fait attention au signe de la constante en effet. Merci.

Chaurien · August 2021

Peux-tu donner l'énoncé de l'exercice en entier ?

Audeo · August 2021

Bonjour,

Finalement, on peut montrer que $f$ est continue sur $\R$ et en déduire que $f$ est dérivable sur $\R$ et que $f\,'=f$.
Ce fil rejoint un de mes précédents messages.

Continuité d'une fonction à variable réelle

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