Espace de Hilbert dans $ \mathbb{C} $

Pablo_de_retour · August 2021

Bonsoir à tous
Je cherche à construire un espace de Hilbert complexe $ \big( \mathcal{H} , \langle \bullet , \bullet \rangle \big) $ de base orthonormée $ \{ e_n (t) \}_{ n \geq 0 } $ telle que, pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $$ e_{n} (t) = \dfrac{1}{n ^{it}} ,$$ pour tout $ t $ appartenant à un certain domaine $ D $ de $ \mathbb{R} $ à déterminer, et pour tout $ f , g \in \mathcal{H} $, $$ \langle f , g \rangle = \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \overline{g (t)} dt $$ D'où ma question.

Pour quelles valeurs de $ a,b \in \mathbb{R} $, on a, pour tout $ n , m \in \mathbb{N} $, $$ \langle e_n , e_m \rangle = \delta_m^n $$ où, $ \delta_m^n $ est le symbole de Dirac ?

Merci d'avance.

Dom · August 2021

Est-ce que $\dfrac{1}{n^{it}}$ n’est pas la même chose que $e^{-int}$ ?

Pablo_de_retour · August 2021

Dom, on a
$$ \dfrac{1}{n^{it}} = e^{-i \ln (n) t }
$$ Donc, il faut penser aux séries de Fourier.
Donc, $ [a,b] = [ 0 , 2 \pi ] $ ?
Merci d'avance.

Dom · August 2021

Ok.

Pablo_de_retour · August 2021

Je calcule $ \langle e_n , e_m \rangle $ pour voir ...
Soient $ m , n \in \mathbb{N} $.
On a, $$ \langle e_n , e_m \rangle = \displaystyle \int_{0}^{ 2 \pi } e^{ - i \ln (n) t } e^{ i \ln (n) t } dt = \displaystyle \int_{0}^{ 2 \pi } e^{ i \ln \big( \frac{m}{ n } \big) t } = \Big[ \dfrac{1}{ i \ln ( \frac{m}{n} ) } e^{ i \ln \big( \frac{m}{ n } \big) t } \Big]_{0}^{2 \pi} \neq \delta_{n}^m $$
Donc, la base n'est pas orthonormée.
Comment remédier à ça ?
Merci d'avance.

Dom · August 2021

Changer de produit scalaire ? (mais comment…)
Changer de matière ? :-D

Espace de Hilbert dans $ \mathbb{C} $

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Bonjour!

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