Inversion d'une fonction linéaire

Je voudrais inverser $\Psi $ qui est à valeur dans $\ell^{2,1}(\N)$ (et pas $f$) :
$$\Psi : L^2(\mathbb T; \R)\to \ell^{2,1}(\N).$$ Donc on n'est pas en train d'inverser un opérateur linéaire en dimension infinie ?

Désolé, je vous ai donc mal compris.
Du coup si j'ai bien compris, chaque $a_i$ est inversible car c'est une application linéaire à valeur dans $\R$ ou $\C$. Et puis pour montrer que la suite constituée des inverses de tous les $a_i$ est dans $\ell^{2,1}$, je cherche à écrire l'inverse des $a_i$ comme étant les coefficients de Fourier d'une certaine fonction (dans $\mathscr C^1$). C'est ça ?
Mais ce qui me gène c'est si j'ai le droit d'inverser les $a_i$, juste parce qu'ils sont à valeurs dans $\R$ ou $\C$, même si l'espace de départ est $L^2(\mathbb T; \R) $ qui est un espace de dimension infinie ? N'a-t-on pas besoin d'un argument supplémentaire ?

Ok, j'ai compris que ce que je disais en haut entre parenthèse n'est pas très correcte.
Par ailleurs, inverser l'opérateur $\Psi $ c'est trouver un opérateur $\Phi : \ell^{1,2}\to L^2(\mathbb T, \R)$ tel que $$\Phi\circ \Psi (v)=v=\Psi\circ \Phi(v).
$$Donc ici la procédure serait d'inverser chaque $a_i$ à part, pour pouvoir inverser $\Psi$.
Par contre, je n'ai toujours pas compris pourquoi si j'ai $a_n(v)=\langle f(v)\mid e^{inx}\rangle$ et disons, par exemple, $f(v)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} vu$ où $u \in L^2(\mathbb T,\R)$ alors je pourrais tout de suite dire que chaque $a_i$ est inversible.

Désolé, je n'arrive pas à comprendre.
Pouvez-vous détailler pourquoi les $a_i$ sont surjectifs ? À partir des $(a_i)$, je vois comment on peut retrouver $f$ (si elle est dans $L^2$) $\displaystyle f=\sum_n a_n e^{ inx}$ mais je ne vois pas comment on peut retrouver $v$...

D'accord si $f=id$ j'ai compris, mais si $f$ est quelconque on fait comment?

$f:v\in L^2(\mathbb T; \R)\mapsto\C$ est linéaire. Donc elle est linéaire sur $L^2$.

Ok et si on suppose de plus que $f$ est bijectif alors $\Psi$ sera inversible. Mais peut-on calculer explicitement l'inverse ?

Est-ce que $\Psi^{-1}=f^{-1}$ ? ($f$ bijective).

Si $\Psi (v)=(a_n)_{n\geq 0}$ alors $\displaystyle f(v)=\sum_{n\in \Z} a_n e^{inx}$ si $ f $est dans $L^2$, et comme $f$ est bijective on peut l'inverser pour obtenir $v$?
Donc $\Psi^{-1}((a_n)_n)=f^{-1}\left(\sum_{n\in \Z} a_n e^{inx}\right) $ ?

D'accord. Merci beaucoup !