Somme

Juste une petite somme triviale sans prétention, pas de quoi se mettre dans tout ses zetas.

Bonjour,

on a $\zeta(3)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^{3}}}$... Le mieux si on connait $k$ c'est d'utiliser un logiciel de calcul.

Il me semble qu'on peut obtenir une majoration un peu meilleure.

En effet, sauf erreur, on a, $\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^3}\leq \dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2(n-1)}-\dfrac{11}{8}$

Majoration obtenue en calculant $\displaystyle 1+\dfrac{1}{8}+\sum_{k=3}^{n}\dfrac{1}{k(k-1)(k-2)}$

Par ailleurs, on a $0\leq x<1,\displaystyle \sum_{k=0}^n x^k=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}\tag1$
On intègre le membre de gauche entre $0$ et $0<y<1$ on obtient $\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{y^{k+1}}{k+1}\tag2$
le membre de droite est égal à $\displaystyle \int_0^y \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}dx$.
On divise à gauche et à droite par $y$ et on intègre à nouveau. On peut recommencer le processus mais à la fin on intègre entre $0$ et $1$. On doit pouvoir obtenir une expression sous forme d'intégrale de $\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^3}$

Edit:
Il y avait une erreur dans une borne des sommes $(1),(2)$

On peut donc montrer que :
\begin{align}
\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^3}&=\int_0^1 \frac{1}{x}\left(\int_0^x \frac{1}{y}\Big(\int_0^y \frac{1-u^n}{1-u}du\Big)dy\right)dx\\
&=\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \dfrac{1-(uxy)^n}{1-uxy}dudxdy.
\end{align}