Étude d'une série numérique
J'ai recommencé à regarder des exercices sur les séries numériques, c'est la suite de mon vaccin d'analyse réelle L1-L2. Après ça, il me restera les séries entières et les séries de Fourier, et j'en aurai terminé. Il faudra que je m'attaque aux choses que je n'aime vraiment pas après ça (les équations différentielles, au secours).
Dans un de mes bouquins, j'ai fait les dix premiers exercices du chapitre sur les séries numériques sans vrai problème, puis je suis tombé sur celui-là.
Pour $n \geqslant 1$ et $x \in \R$, on définit $\ u_n = \dfrac{x^n + (-1)^n}{n}$. Pour quelles valeurs de $x$ la série de terme général $u_n$ est-elle convergente ?
Avec le cours du bouquin, on peut facilement montrer que la série converge au moins quand $x \in [-1,1[$, puisqu'ils donnent la série de $-\ln(1-x)$ : il suffit de l'additionner deux fois, une fois pour $x=-1$. Cependant, leur "corrigé" (ils donnent de courtes indications pour certains exercices, sans plus), ils affirment que c'est exactement pour $x \in [-1,1[$. J'ai un peu de mal (ou plutôt, je n'ai pas trop confiance en moi pour ça).
Commençons par le cas $x \geqslant 1$.
On a $u_n \geqslant 0$, donc je me suis dit que je pourrais utiliser les résultats sur les séries à termes positifs. Seulement, pour que l'exercice puisse être honnête, j'essaie de me restreindre aux résultats qui sont dans le cours de ce bouquin. Il n'y en a pas tant que ça.
Je me suis dit que je pouvais essayer ça : $u_{2n} = \dfrac{x^{2n}+1}{2n} \geqslant \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{n}$. Si je définis $v_n$ par $v_{2n} = u_{2n}$ et $v_{2n+1}=0$, alors $v_n \leqslant u_n$, donc la convergence de $\displaystyle \sum u_n$ entraînerait celle de $\displaystyle \sum v_n$, qui entraînerait celle de $\displaystyle \sum \dfrac{1}{n}$, ce qui est absurde. Donc $\displaystyle \sum u_n$ est divergente pour $x \geqslant 1$. Est-ce que ça marche comme argument ?
Pour le cas $x < -1$, j'ai encore besoin de réfléchir. Peut-être qu'on peut appliquer la même logique et majorer par la série des $-\dfrac{1}{n}$, on verra.
Dans un de mes bouquins, j'ai fait les dix premiers exercices du chapitre sur les séries numériques sans vrai problème, puis je suis tombé sur celui-là.
Pour $n \geqslant 1$ et $x \in \R$, on définit $\ u_n = \dfrac{x^n + (-1)^n}{n}$. Pour quelles valeurs de $x$ la série de terme général $u_n$ est-elle convergente ?
Avec le cours du bouquin, on peut facilement montrer que la série converge au moins quand $x \in [-1,1[$, puisqu'ils donnent la série de $-\ln(1-x)$ : il suffit de l'additionner deux fois, une fois pour $x=-1$. Cependant, leur "corrigé" (ils donnent de courtes indications pour certains exercices, sans plus), ils affirment que c'est exactement pour $x \in [-1,1[$. J'ai un peu de mal (ou plutôt, je n'ai pas trop confiance en moi pour ça).
Commençons par le cas $x \geqslant 1$.
On a $u_n \geqslant 0$, donc je me suis dit que je pourrais utiliser les résultats sur les séries à termes positifs. Seulement, pour que l'exercice puisse être honnête, j'essaie de me restreindre aux résultats qui sont dans le cours de ce bouquin. Il n'y en a pas tant que ça.
Je me suis dit que je pouvais essayer ça : $u_{2n} = \dfrac{x^{2n}+1}{2n} \geqslant \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{n}$. Si je définis $v_n$ par $v_{2n} = u_{2n}$ et $v_{2n+1}=0$, alors $v_n \leqslant u_n$, donc la convergence de $\displaystyle \sum u_n$ entraînerait celle de $\displaystyle \sum v_n$, qui entraînerait celle de $\displaystyle \sum \dfrac{1}{n}$, ce qui est absurde. Donc $\displaystyle \sum u_n$ est divergente pour $x \geqslant 1$. Est-ce que ça marche comme argument ?
Pour le cas $x < -1$, j'ai encore besoin de réfléchir. Peut-être qu'on peut appliquer la même logique et majorer par la série des $-\dfrac{1}{n}$, on verra.
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Réponses
Pour x > 1, difficile de donner une indication plus précise que celle de Riemann lapins crétins sans donner la réponse. J'essaie tout de même : que doit nécessairement vérifier une suite (u_n) telle que la série associée converge ?
Le terme général doit tendre vers $0$. D'accord, je n'ai pas réfléchi en regardant au bon endroit auparavant. Mais j'aimerais quand même qu'on réponde aux questions que je pose... sinon je ne les poserais pas, m'voyez ?
Edit : non, autant pour moi, j'avais mal compris. Si tu cherches un moyen de dominer les sommes partielles par un truc de limite infinie ça va évidemment.
ta série s'écrit d'après les développements classiques :
$\Sigma_1^{+oo}\frac{x^n}{n} + \Sigma_1^{+oo}\frac{(-1)^n}{n} = - ln(1-x) - ln2$
elle converge pour x < 1 strictement
Cordialement
NB:
Si une série entière a pour rayon de convergence $r$ en $z=0$ alors si $|z_0|>r$ alors la série diverge en $z_0$
Par contre, a priori, on ne serait rien dire sur le bord du disque de convergence (on sait seulement qu'il existe au moins une valeur sur le bord du disque pour laquelle la série diverge)
Je ne suis pas certain de Il me semble qu'il existe des séries convergentes (semi, cela va de soi) en tout point du cercle de convergence.
De même il existe des séries divergentes non grossièrement en tout point du cercle de convergence (exemple assez élaboré dû au regretté Jean-Marie Exbrayat).
Je croyais me rappeler d'un théorème qui dit, en substance, que si la série entière converge en tous les points de la frontière d'un disque, alors, le rayon de convergence est strictement plus grand que le rayon de ce disque.
http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~tuntr932/borddudisque.pdf
En outre, j'enseigne souvent l'algorithme suivant : pour savoir la nature d'une série, regarder si elle est grossièrement divergente. Si oui, c'est fini. Sinon, essayer de démontrer qu'elle est absolument convergente avec les critères du cours. Sinon, essayer le critère des séries alternées, et si tout ça n'a pas marché, faire preuve d'inventivité.
Mais tu te souviens qu'il n'y a pas d'algorithme qui donne les réponses à toutes les questions ?
Je sais que les gens ici connaissent à peu près mon niveau : le forum sait que j'ai un Master, ok. Mais je dis souvent que je suis très mal à l'aise en analyse, que je n'ai jamais vraiment eu l'impression de comprendre ce que je fais, et que j'ai besoin de revoir les choses à la base pour compenser les cours hyper pourris que j'ai eus en prépa/licence.
Je ne me souviens pas avoir demandé le moindre algorithme :-S mais ta méthode (divergence grossière, convergence absolue, séries alternées...) peut m'aider. J'ai juste envie de pouvoir me retrouver face à une série sans être paumé sans savoir comment m'y prendre, c'est tout.
J'ai une question a priori un peu débile, mais je préfère demander : est-ce qu'il y a une différence entre montrer "$f$ est développable en série entière sur machin et sa série entière vaut truc" et "la série entière truc converge sur machin et sa somme est $f$" ?