Étude d'une série numérique

J'ai recommencé à regarder des exercices sur les séries numériques, c'est la suite de mon vaccin d'analyse réelle L1-L2. Après ça, il me restera les séries entières et les séries de Fourier, et j'en aurai terminé. Il faudra que je m'attaque aux choses que je n'aime vraiment pas après ça (les équations différentielles, au secours).
Dans un de mes bouquins, j'ai fait les dix premiers exercices du chapitre sur les séries numériques sans vrai problème, puis je suis tombé sur celui-là.

Pour $n \geqslant 1$ et $x \in \R$, on définit $\ u_n = \dfrac{x^n + (-1)^n}{n}$. Pour quelles valeurs de $x$ la série de terme général $u_n$ est-elle convergente ?

Avec le cours du bouquin, on peut facilement montrer que la série converge au moins quand $x \in [-1,1[$, puisqu'ils donnent la série de $-\ln(1-x)$ : il suffit de l'additionner deux fois, une fois pour $x=-1$. Cependant, leur "corrigé" (ils donnent de courtes indications pour certains exercices, sans plus), ils affirment que c'est exactement pour $x \in [-1,1[$. J'ai un peu de mal (ou plutôt, je n'ai pas trop confiance en moi pour ça).

Commençons par le cas $x \geqslant 1$.
On a $u_n \geqslant 0$, donc je me suis dit que je pourrais utiliser les résultats sur les séries à termes positifs. Seulement, pour que l'exercice puisse être honnête, j'essaie de me restreindre aux résultats qui sont dans le cours de ce bouquin. Il n'y en a pas tant que ça.
Je me suis dit que je pouvais essayer ça : $u_{2n} = \dfrac{x^{2n}+1}{2n} \geqslant \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{n}$. Si je définis $v_n$ par $v_{2n} = u_{2n}$ et $v_{2n+1}=0$, alors $v_n \leqslant u_n$, donc la convergence de $\displaystyle \sum u_n$ entraînerait celle de $\displaystyle \sum v_n$, qui entraînerait celle de $\displaystyle \sum \dfrac{1}{n}$, ce qui est absurde. Donc $\displaystyle \sum u_n$ est divergente pour $x \geqslant 1$. Est-ce que ça marche comme argument ?

Pour le cas $x < -1$, j'ai encore besoin de réfléchir. Peut-être qu'on peut appliquer la même logique et majorer par la série des $-\dfrac{1}{n}$, on verra.