Séries entières complexes
dans Analyse
Bonjour à tous
Je ne suis pas très familier avec le cours des séries entières dans $ \mathbb{C}. $ (Je suis quand même familier avec le cours des séries entières dans $ \mathbb{R} $. Ne vous inquiétez pas :-) ).
On sait que, dans $ \mathbb{R} $, on a pour tout $ x \in\, ] -1 , 1 [ $ : $$ \dfrac{1}{1-x} = \sum_{ n \geq 0 } x^n .$$ On dit que le rayon de convergence de la série : $ f(x) = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } x^n $ est égale à $ 1 $.
Est-ce que, si on étend par prolongement analytique la fonction réelle $ f(x) = \dfrac{1}{1-x} $ définie dans $ ] - 1 , 1 [ $ à tout $ \mathbb{C} \setminus \{ 1 \} $, on aura, pour tout $ z \in \mathbb{C} \setminus \{ 1 \} ,\quad \dfrac{1}{1 - z } = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } z^n $ ?
Merci d'avance.
Je ne suis pas très familier avec le cours des séries entières dans $ \mathbb{C}. $ (Je suis quand même familier avec le cours des séries entières dans $ \mathbb{R} $. Ne vous inquiétez pas :-) ).
On sait que, dans $ \mathbb{R} $, on a pour tout $ x \in\, ] -1 , 1 [ $ : $$ \dfrac{1}{1-x} = \sum_{ n \geq 0 } x^n .$$ On dit que le rayon de convergence de la série : $ f(x) = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } x^n $ est égale à $ 1 $.
Est-ce que, si on étend par prolongement analytique la fonction réelle $ f(x) = \dfrac{1}{1-x} $ définie dans $ ] - 1 , 1 [ $ à tout $ \mathbb{C} \setminus \{ 1 \} $, on aura, pour tout $ z \in \mathbb{C} \setminus \{ 1 \} ,\quad \dfrac{1}{1 - z } = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } z^n $ ?
Merci d'avance.
Réponses
-
C'est pour résoudre l'hypothèse de Riemann que tu t'intéresses aux séries entières complexes ?
-
Non.
-
J'attends la réponse de Jean Lismonde (que je salue).
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Toujours le penchant de Pablo à confondre mathématiques et magie !!
"Je ne suis pas très familier avec le cours des séries entières dans $\mathbb C$."
Alors c'est l'occasion de le regarder au lieu de poser des questions idiotes.
"si on étend par prolongement analytique la fonction réelle ..." Magie !! -
Il est familier avec les séries réelles comme on peut être familier avec un cousin : il dit des grossièretés à leur sujet, mais chacun sait qu'il faut en rire.
-
J'applique alors ce qui est dit ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Prolongement_analytique
On pose : $ \forall x \in ] -1 , 1 [ $ : $ f(x) = \dfrac{1}{1-x} - \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } x^n $.
$ f $ est une fonction analytique sur le domaine ouvert et connexe $ ] - 1 , 1 [ $.
Alors, puisque, par hypothèse de l'exercice, $ f(x) = 0 $ pour tout $ x \in ] -1 , 1 | $, par prolongement analytique, pour tout $ z \in \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} $, $ f(z) = 0 $.
D'où, pour tout $ z \in \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} $ : $ \dfrac{1}{1-z} = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } z^n $
Est ce que c'est ça ? -
Bonsoir Pablo,
Une des premières choses que l'on apprend quand on étudie la convergence d'une série à valeurs dans un espace vectoriel normé, c'est qu'il est nécessaire que le terme général tende vers 0 pour avoir convergence.
Pour la série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}z^n$, il est assez facile de voir qu'il y a de nombreux cas où cette condition n'est pas vérifiée ! -
Bonjour e.v
je te salue bien bas, c'est aimable de penser à moi en cette période de basses eaux mathématiques...
sur la question de Pablo je n'ai pas de réponse particulière :
soit le nombre complexe z = x + iy de module r tel que r² = x² + y²
la série $\frac{1}{1-z} = 1+z+z^2+z^3+.......+ z^n+......$
reste valable pour z complexe si et seulement si le module de z est strictement inférieur à 1
il existe donc un disque de convergence pour x et y qui doivent être tels que x² + y² < 1
(disque bordé par le cercle trigonométrique)
bonnes vacances à tous -
Merci Philippe. :-)
Est ce que tu peux me dire alors, qu'est ce qui ne va pas dans ma démonstration que je viens de poster dans mon dernier message ?
Merci d'avance.
Edit : Merci Jean Lismonde. (tu) -
Il te dira sans doute que $2 \in \mathbb{C}\setminus \{1\}$ et te demandera de regarder ta série avec $z=2$. Ou quelque chose du genre.
-
Oui, je sais, merci. Mais pourquoi mon raisonnement que j'ai appliqué est faux ?
-
Le $U$ que tu sembles vouloir utiliser est le plan complexe privé de $1$. Or, justement ta fonction n’est MÊME PAS DÉFINIE sur ce $U$...
-
Ton raisonnement est faux parce que tu appliques un théorème (qui est complètement inutile ici) n'importe comment. Comme d'habitude, en somme. Mais je ne vais pas apprendre à définir proprement une fonction et vérifier proprement les hypothèses d'un théorème à quelqu'un qui a résolu un problème du prix du millénaire.
-
@shannon,
Si tu jettes un coup d’œil ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_analytique , tu verras qu'on dit :
Toute fonction analytique sur un ouvert $ I $ de $ \mathbb{R} $ admet un prolongement analytique sur un certain ouvert de $ \displaystyle \mathbb{C} $ contenant $ I $. -
Et tu l'appliques comme une formule magique !!
-
Pablo, benh oui, le disque ouvert de rayon 1 est un tel ouvert...donc aucun souci.
As-tu prouvé que $\C$ privé de $1$ convient? Non. Et si tu le fais, tu auras un deuxième prix du millénaire que je t’offre moi-même.
Par contre, tu confonds tout là... -
Il me semble que, pour tout $ z \in \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} $, on a effectivement, $ \dfrac{1}{1-z} = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } z^n $, par prolongement analytique de la fonction, $ f(x) = \dfrac{1}{1-x} - \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } x^n $ définie sur $ ] - 1 , 1 [ $.
$ f(x) = \dfrac{1}{1-x} - \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } x^n $ définie sur $ ] - 1 , 1 [ $ n'est bien sûr pas prolongeable par continuité en une fonction de la forme, $ f(|z|) = \dfrac{1}{1-|z|} - \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } |z|^n $, car, $ z \to f(|z|) $ n'est pas définie sur le cercle $ \{ z \in \mathbb{C} \ | \ |z| = 1 \ \} $, et donc, puisque, $ \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} \big) \cap \{ \ z \in \mathbb{C} \ | \ |z| = 1 \ \} $ n'est pas connexe, alors, $ f $ n'est pas prolongeable par continuité à la fonction $ z \to f( |z| ) $ sur $ \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} $, mais seulement dans le disque $ D(0,1) $ ... ça oui ... Mais, elle est prolongeable par continuité à la fonction $ z \to f( z ) = \dfrac{1}{1-z } - \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } z^n $ sur $ \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} $. Non ? -
Kamoulox.
Et encore, j'ai tout lu parce que ce n'était pas aussi long que d'habitude. -
Bonsoir Pablo,
De mémoire, le cours sur les séries entières (L2 ?) ne doit pas être plus compliqué sur C que sur R, en particulier les propriétés du rayon de convergence.
Quand à ton 1/(1-z), cela ne t'évoques pas une série géométrique ? -
Tu n'es pas gentil, ronan. On s'amusait bien...
-
...
-
ronan a écrit:Quand à ton 1/(1-z), cela ne t'évoques pas une série géométrique ?
Bonsoir @ronan,
Oui, je sais que c'est une série géométrique, mais je ne sais pas si ce que j'ai écrit ici est correct ou non :Pablo a écrit:Il me semble que, pour tout $ z \in \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} $, on a effectivement, $ \dfrac{1}{1-z} = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } z^n $, par prolongement analytique de la fonction, $ f(x) = \dfrac{1}{1-x} - \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } x^n $ définie sur $ ] - 1 , 1 [ $.
$ f(x) = \dfrac{1}{1-x} - \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } x^n $ définie sur $ ] - 1 , 1 [ $ n'est bien sûr pas prolongeable par continuité en une fonction de la forme, $ f(|z|) = \dfrac{1}{1-|z|} - \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } |z|^n $, car, $ z \to f(|z|) $ n'est pas définie sur le cercle $ \{ z \in \mathbb{C} \ | \ |z| = 1 \ \} $, et donc, puisque, $ \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} \big) \cap \{ \ z \in \mathbb{C} \ | \ |z| = 1 \ \} $ n'est pas connexe, alors, $ f $ n'est pas prolongeable par continuité à la fonction $ z \to f( |z| ) $ sur $ \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} $, mais seulement dans le disque $ D(0,1) $ ... ça oui ... Mais, elle est prolongeable par continuité à la fonction $ z \to f( z ) = \dfrac{1}{1-z } - \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } z^n $ sur $ \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} $. Non ? -
1/(1-z) existe en 17 pas ta somme donc la difference entre 1/(1-z) et la somme n'existe pas en 17
-
Oui, essaie aussi en 0,653 Pablo.
Tiens-nous au courant s’il te plaît. -
D'accord, alors, si $ f $ n'est pas prolongeable à $ \mathbb{C} \backslash \{1 \} $, est ce qu'elle est prolongeable à $ \mathbb{C} \ \backslash ( \mathbb{R} \backslash \ ] -1 , 1 [ ) $ ?
-
X:-(
-
Mince. Pas de cohomologie et juste le symbole tout pourri « \ ».
C’est décevant. -
Tu ne comprends ni les mathématiques, ni le bon sens, mais encore une fois : appliquer ton théorème est inutile ici.
-
D'accord, j'ai compris.
$ f \ : \ \mathbb{C} \to \mathbb{C} $ n'est pas définie sur le cercle $ \{ \ z \in \mathbb{C} \ | \ | z | = 1 \ \} \subset \mathbb{C} $, et on a pour tout $ z \in ] - 1 , 1 [ $, $ f (z) = 0 $, donc, pour tout $ z \in D (0,1) $, $ f(z) = 0 $, par prolongement analytique.
On ne peut pas prolonger à $ \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} \cap ( \{ \ z \in \mathbb{C} \ | \ | z | = 1 \ \} ) $, car, il n'est pas connexe, et à fortiori, on ne peut pas prolonger à $ \mathbb{C} \backslash \{ 1 \} $.
Voilà. -
Hum Dom a raison, tu nous as habitués à beaucoup mieux que ça... Je ne sais pas moi tu n'as pas deux-trois flèches et un foncteur ?
-
Tu n'as toujours pas compris que tout ce que tu as écrit depuis le début de ce fil est complètement inutile.
Ouvre un livre de Terminale, la réponse à ta question est dedans. Tu es d'un pathétique, à affirmer que tu as résolu des problèmes ultra-durs, à faire semblant de comprendre les choses quand on t'explique tes idioties pour te donner l'apparence d'être égal aux autres membres du forum (je t'assure que personne n'y croit à part toi, on sait tous que tu es un incompétent notoire). Mais bon, ça nous fait marrer, alors on joue un peu le jeu... si tu avais un minimum d'amour-propre, tu arrêterais ce jeu absurde auquel tu ne peux pas gagner et où tu seras toujours le seul perdant. -
Je crois que Pablo se dit que la fonction qu'il considère étant holomorphe et définie pour z distinct de 1, alors elle est analytique sur C\{1}.
Il oublie qu'analytique ne veut pas dire simplement développable en série entière, mais développable autour d'un point.
Par exemple si on regarde autour de -1, on a le développement suivant de f : $f(z) = \Sigma 2^{-(n+1)}(z+1)^{n}$.
Ce développement est valable pour tout complexe à distance plus petite strictement que 2 de -1.
Alors effectivement, cette fois on a une extension possible de f sur D(-1,2), qui est bien un ouvert connexe, et le théorème sert seulement à exprimer que c'est la seule façon de faire sur cet ouvert. Ce prolongement ne marche pas sur tout l'ensemble de base hein ! Mais la partie unicité reste, à cause du fait qu'il y a égalité sur l'intersection de nos deux disques.
Par contre on peut éviter totalement ce disque fermé maintenant en allant au point z=2. Je te laisse vérifier que le rayon de convergence de la série autour de ce point est de 1 et donc le domaine sur lequel on a une série entière centrée en 2 définissant f ne touche pas le cercle unité (heureusement sinon il toucherait 1).
Pourtant on peut dire que si on considère l'ouvert D(0,1) U D(2,1), alors on a un nouveau prolongement de f (celle donnée par 1/(1-z)) sur cet ouvert. Mais comme cet ouvert n'est pas connexe pas de théorème. On a bien prolongement de la fonction HOLOMORPHE f, mais pas prolongement de la fonction ANALYTIQUE f, et ce sans contradiction.
Encore une fois la morale de l'histoire est que les ensembles de départ sont partie intégrante de la définition d'une fonction. La série entière de ton post est définie sur D(0,1). Si tu définis f sur ce domaine, ce sont bien les mêmes fonctions, elle est analytique. Si tu définis f sur C\{1}, ce ne sont pas les mêmes, pas d'analycité. Si tu définis f sur D(-1,2), ce ne sont toujours pas les mêmes fonctions, pourtant f est toujours analytique, égale à une autre série entière explicitée plus haut, et le fait que cette série soit distincte de la tienne qui ne marche pas sur mon ouvert n'est pas une contradiction.
Le théorème prévoit encore une autre chose. Si je note $g(z) = \Sigma z^{n}$ et $h(z) = \Sigma 2^{-(n+1)} (z+1)^{n}$, ces fonctions sont donc égales à $f$ sur D(0,1) et D(-1,2) respectivement. L'unicité du prolongement analytique implique donc qu'elles coïncident sur les points communs à ces deux ouverts, par exemple 0. Donc en bidouillant $h$ pour avoir une série entière centrée en 0, elle doit valoir $g$. Je te laisse vérifier même si tu ne le feras pas (bon, pour une fois je comprends que ce soit pénible).
Je peux un peu comprendre que ce point pose problème au début donc je réponds même si c'est le génie du forum. -
Justement, vu son comportement je ne l'aurais pas aidé. Il ne le mérite pas tant qu'il ne change pas.
-
Ne vois-tu pas simplement que son génie est si grand qu'il ne peut pas comprendre les mathématiques trop simples ?
Plus sérieusement je me dis juste que si quelqu'un fait une recherche un jour une explication pourrait lui servir.
Et en étant sympa j'aurai peut-être un rabais sur la preuve de Hodge évaluée dernièrement à 900.000. Je ferai tourner vous en faites pas. -
Bonjour Pablo.
Peux-tu déterminer les $z\in C$ pour lesquels la suite $\big(S_n(z)\big)_{n\in\N}$ définie par
\[\forall n \in \N, \quad S_n := \sum_{k=0}^n z^k
\] converge au sens de Cesàro ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonjour
je rectifie et complète mon message antérieur qui concernait uniquement la convergence implosive des séries.
Pour ceux qui admettent comme moi la convergence encadrée et la convergence explosive des séries de signe alterné, on peut dire que la série proposée par Pablo converge pour un module de $z$ qui soit égal à $1$ mais d'argument $t$ différent de $2k\pi$.
Par exemple : $\displaystyle \frac{1}{1-e^{it}} = 1 + e^{it} + e^{2it} + \cdots+ e^{nit} +\ldots= \sum_0^{+\infty}\cos(nt) + i\sum_0^{+\infty}\sin(nt)$
sera convergente pour $t$ différent de $2k\pi$ vers $$\frac{1}{2} + i\frac{1}{\tan\frac{t}{2}}.
$$ Exemple de $z$ de module égal à $2$ et d'argument $t$ différent de $2k\pi$.
$\displaystyle \frac{1}{1-2e^{it}} = 1+ 2e^{it} + 2^2e^{2it} + 2^3e^{3it} + \cdots+ 2^n.e^{nit} +\ldots$ soit
$\displaystyle \frac{1}{1 - e^{it}} = \sum_0^{+\infty} 2^n\cos(nt) + i\sum_0^{+\infty}2^n\sin(nt)$
il s'agit pour la partie réelle d'une série qui alterne de signe tous les 3 ou 4 termes
et dont la convergence est certaine vers $$\frac{1-2\cos t}{5-4\cos t}
$$ limite positive, négative ou nulle (pour $t = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$).
Et pour la partie imaginaire d'une série qui alterne de signe également tous les trois ou 4 termes et dont la convergence est certaine vers $\quad \dfrac{2\sin t}{5 - 4\cos t},$ limite positive, négative ou nulle (pour $t = k\pi$).
Cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 11
+6 Invités