Elle est réelle positive. Désolé, j'aurais dû préciser.
Et pour le fait de comparer une série avec une intégrale, c'est-à-dire
$$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{\alpha+1}}\leq \int_n^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha+1}}\leq \frac{C}{n^\alpha} \quad ?$$
Bonjour
La question n'est pas claire. En effet dans la première inégalité, la constante dépend de $\alpha.$ (Sinon la constante explose quand $\alpha$ tend vers 0.)
La deuxième inégalité sous-entend que la constante ne dépend pas de $\alpha.$ Ou alors, elle signifierait qu'il faut démontrer que si la série de droite est convergente alors il en est de même pour la série de gauche.
J'ai trouvé c'est inégalité en lisant un livre. Ils ne précisent pas si les constantes dépendent de $\alpha$ ou pas...
En fait, ils ont écrit :
$$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{1+\alpha}}\lesssim \frac{1}{n^{\alpha}}
\qquad\text{et}\qquad
\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^\alpha} \sum_{k \geq n} k^\alpha a_k \lesssim \sum_{k\geq 1}k a_k.
$$ Et je voulais savoir comment on démontre ces inégalités...
$\alpha$ est un paramètre fixe qui ne varie pas dans la suite du texte donc je suppose que si les constantes dépendaient de $\alpha$ sera ne causera aucun problème pour la suite...
Réponses
e.v.
Et pour le fait de comparer une série avec une intégrale, c'est-à-dire
$$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{\alpha+1}}\leq \int_n^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha+1}}\leq \frac{C}{n^\alpha} \quad ?$$
La question n'est pas claire. En effet dans la première inégalité, la constante dépend de $\alpha.$ (Sinon la constante explose quand $\alpha$ tend vers 0.)
La deuxième inégalité sous-entend que la constante ne dépend pas de $\alpha.$ Ou alors, elle signifierait qu'il faut démontrer que si la série de droite est convergente alors il en est de même pour la série de gauche.
En fait, ils ont écrit :
$$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{1+\alpha}}\lesssim \frac{1}{n^{\alpha}}
\qquad\text{et}\qquad
\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^\alpha} \sum_{k \geq n} k^\alpha a_k \lesssim \sum_{k\geq 1}k a_k.
$$ Et je voulais savoir comment on démontre ces inégalités...
$\alpha$ est un paramètre fixe qui ne varie pas dans la suite du texte donc je suppose que si les constantes dépendaient de $\alpha$ sera ne causera aucun problème pour la suite...
Pour la seconde inégalité, il faut permuter l'ordre des sommes.