Abscisse curviligne et longueur d'arc

Ce fil se situe quelque part entre géométrie presque différentielle, analyse, mesure/intégration... je pense que la section "Analyse" est la meilleure ?

Important : dans tout ce qui suit, sauf mention explicite du contraire, aucune application n'est supposée dérivable. C'est fait exprès.

J'ai voulu voir comment définir "proprement" les intégrales curvilignes dans le cadre de l'intégration au sens de Lebesgue. C'est quelque chose que je n'ai jamais vu à l'université, et qui n'est pas traité dans mes bouquins non plus. J'ai commencé par cette définition. Ici, on définit l'intégrale curviligne comme l'intégrale d'une fonction par rapport à une mesure donnée, c'est exactement ce que je cherchais. Je travaillerai proprement l'aspect "intégrale de Stieltjes" dans mon coin à l'aide de ceci et de ceci, ça je pense que ça ira.

Cependant, la mesure en question est définie à l'aide de l'abscisse curviligne. Et là, je commence à avoir quelques questions. Quand j'étais à l'université, en géométrie différentielle, on avait assez rapidement introduit l'abscisse curviligne et on avait ensuite paramétré le plus possible les courbes par la "longueur d'arc" (donc l'abscisse curviligne, si j'ai bien suivi) pour rendre les calculs plus simples. En particulier, apparemment, c'est un paramétrage qui se fait "à vitesse constante". Je vais revenir là-dessus.

Les arcs le long desquels il y a un intérêt à définir une intégrale curviligne sont les arcs dits rectifiables, associés à un paramétrage à variation bornée (si j'ai bien compris, en tout cas : le long d'une courbe de longueur infinie, les intégrales seraient toutes infinies). Par rapport à cette définition de fonction à variation bornée : lorsque $T$ est en particulier un intervalle $[a;b] \subseteq \R$, comme c'est le cas dans l'article sur les intégrales curvilignes, j'ose admettre (surtout parce qu'une preuve, ça m'a l'air chiant à écrire, pour pas grand-chose) qu'il est évident que le $\sup$ est atteint en tendant vers des subdivisions qui incluent les bornes $a$ et $b$.

On peut maintenant définir la longueur d'un arc à l'aide de cette notion de variation totale. Notons qu'un arc est donc un couple $\Gamma = ([a;b],\gamma)$ où $\gamma$ est une fonction continue définie sur $[a;b]$. Je sais que tout est censé se simplifier quand $\gamma$ est suffisamment régulière, c'est un truc auquel je veux donner le statut de théorème et démontrer dans mes papiers, mais je veux que mes définitions soient les plus générales possibles, c'est pour ça que je ne suppose pas $\gamma$ "plus que continue". Je note $L([a;b];\gamma)$ la longueur d'un arc $\Gamma = ([a;b],\gamma)$. On sait qu'elle peut être infinie.

Bon. Maintenant, toujours en faisant comme dans l'article sur les intégrales curvilignes, je me donne un arc $\Gamma \subseteq \R^n$ paramétré par $\gamma : [a;b] \longrightarrow \R^n$, continue et à variation bornée. D'après eux, l'abscisse curviligne $s_{\gamma}(t)$ est la "longueur de l'arc $\gamma$ restreint à $[a;t]$". Donc en gros, ils définissent une application $s_{\gamma} : [a;b] \longrightarrow [0;\infty]$, $t \longmapsto L([a;t],\gamma|_{[a;t]})$, si je ne me trompe toujours pas.

Mais du coup, j'ai un problème avec ça. La longueur d'un arc géométrique devrait être indépendante du paramétrage. Ici, l'abscisse curviligne (qui est censée être une longueur d'arc algébrique, dont le signe dépend du sens de parcours de la courbe) a l'air de dépendre du paramétrage $\gamma$, au point où ils ont gardé le paramétrage en indice : ils ont noté ça $s_{\gamma}$ et pas juste $s$, il y a probablement une raison. Un même arc peut être paramétré de différentes façons, mais la longueur de l'arc doit toujours être la même (donc, indépendante du paramétrage).

Pour des arcs paramétrés de classe $\mathcal{C}^1$, ils donnent des définitions pratiques ici et montrent que la longueur d'arc est indépendante du paramétrage, mais évidemment, chez eux, tout le monde est dérivable, donc ça marche assez facilement. Mais moi, j'ai besoin d'une démonstration avec des arcs simplement continus. On peut peut-être donner un sens à leurs définitions quand $p=0$ : les difféomorphismes de classe $\mathcal{C}^p$ deviendraient des homéomorphismes, et le truc de la dérivée première qui ne s'annule jamais marche peut-être encore puisqu'une fonction à variation bornée d'un segment vers $\R$ est dérivable presque partout, à voir si ça se généralise pour celles d'un segment vers $\R^n$.

Du coup, moi j'en suis là... j'ai un $\sup$ pris sur des subdivisions de l'ensemble de départ de mon paramétrage, et je dois démontrer qu'il ne dépend pas du paramétrage. Je ne vais pas vous mentir que j'ai du mal à voir comment commencer une tentative de démonstration.

Merci à ceux qui voudront bien m'aider à dépatouiller tout ça.