Inégalité entre radicaux

Bonjour

Par exemple, sur l'intervalle $[0;1]$, j'obtiens, sauf erreur, le polynôme $7056x^4 - 1984x^3 - 4128x^2 - 704x + 784$ qui n'a pas de racine réelle donc est toujours positif.
Je n'ai pas vraiment envie de calculer les autres cas.

Cordialement,
Rescassol

Bonsoir, ce que dit Rescassol est bien la marche direct. Ici on peut faire des calculs de dérivée et s'en sortir simplement. (Quel est la question générale?)

Par exemple c'est vrai pour $x\ge 0$ trivialement ($|1-x|\le |1+x|$).

Pour $x\le -1$ on démontre que pour $x\ge 1$, $2\sqrt{1+x}\le 2\sqrt{x-1}+\sqrt{2}+\sqrt{2x}$ en prouvant qu'on a égalité en $1$ puis étude de signe de la dérivée...

Enfin le cas $x\in[-1;0]$ on aura à montrer que pour $x\in[0,1]$ on a $2\sqrt{1+x}\le 2\sqrt{1-x}+\sqrt{2}+\sqrt{2x}$ ou encore $2\sqrt{1+x}-\sqrt{2x}\le \sqrt{2}+2\sqrt{1-x}$; elle est vrai pour $x=0$ et $1$.


Si $f(x)=2\sqrt{1+x}-\sqrt{2x}$ et $g(x)=2\sqrt{1-x}+\sqrt{2}$.

$f''(x)\ge 0$ sur $[0,1]$ donc $f$ convexe, $g$ est concave. $f(0)=2<g(0)=2+\sqrt{2}$ et $f(1)=g(1)$ et vue l'allure des deux courbes on a l'inégalité sur $[0;1]$.

En fait tracer les allures des fonctions aide à trouver des démonstrations pareils.