Fonction dans $L^p$
Bonjour, soit $J_2=\{x\in \mathbb R:|x|<1\}$ et $\alpha=e^{2\pi i/3}\in \mathbb C$.
Soit $f:J_2\to \mathbb C,f(x)=(1-x^2)^\alpha$. Je dois déterminer l'ensemble des $p\geq 1$ tels que $f\in L^p(J_2)$ (muni de la tribu et mesure de Lebesgue restreinte à $J_2$).
Dans le cas $p< \infty$ j'ai $$\begin{align*}
\|(1-x^2)^\alpha\|_p^p &=\int_{-1}^1|1-x^2|^{p\alpha} \\
&=\int_{-1}^1(1-x^2)^{p\alpha} \\
&=2\int_0^1(1-x^2)^{p\alpha} \\
&=2\int_0^1[(1+x)(1-x)]^{p\alpha} \\
&=\int_0^1\frac{y^{p\alpha}}{\sqrt{1-y}}
\end{align*}$$Comment continuer? Aussi comment faire le cas $p=\infty$? Merci.
Soit $f:J_2\to \mathbb C,f(x)=(1-x^2)^\alpha$. Je dois déterminer l'ensemble des $p\geq 1$ tels que $f\in L^p(J_2)$ (muni de la tribu et mesure de Lebesgue restreinte à $J_2$).
Dans le cas $p< \infty$ j'ai $$\begin{align*}
\|(1-x^2)^\alpha\|_p^p &=\int_{-1}^1|1-x^2|^{p\alpha} \\
&=\int_{-1}^1(1-x^2)^{p\alpha} \\
&=2\int_0^1(1-x^2)^{p\alpha} \\
&=2\int_0^1[(1+x)(1-x)]^{p\alpha} \\
&=\int_0^1\frac{y^{p\alpha}}{\sqrt{1-y}}
\end{align*}$$Comment continuer? Aussi comment faire le cas $p=\infty$? Merci.
Réponses
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Bonjour, les modules sont mal placés, $\alpha$ est complexe.
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Ah oui merci, on a donc $$\begin{align*}
\|(1-x^2)^\alpha\|_p^p &=\int_{-1}^1|(1-x^2)^\alpha|^p \\
&=\int_{-1}^1|1-x^2|^{\Re(\alpha) p} \\
&=\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}^p} \\
&=2\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}^p} \\
&=2\int_0^{\pi/2}\frac{\cos(y)}{\cos(y)^p} \\
&=2\int_0^{\pi/2}\cos(y)^{p-1}
\end{align*}$$qui est bornée pour tout $p<\infty$ c'est ca?
Et pour $p=\infty$ on cherche le $\sup$ de la fonction $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ sur le domaine $]-1,1[$ qui vaut l'infini, donc en conclusion les $p$ sont tous sauf $p=\infty$?
Edit: J'ai fait une erreur sur la puissance du $\cos$ qui doit être $1-p$ et non $p-1$...:-? Dans ce cas on n'a pas encore de finitude, comment conclure? -
Bonjour,
la convergence de ton intégrale dépend de p. Il faut donc étudier cela.
Puisque la borne qui pose pb est $\pi/2$ personnellement je remplacerai le $y$ par $\pi/ 2-y$ pour ramener l'étude en $y=0.$ -
Merci, si je suis tes indications bd2017 j'ai l'intégrale $2\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sin(y)^q}$ où $q=p-1$, en utilisant l'équivalent $\sin^q\sim x^q$, je trouve que l'intégrale converge si et seulement si $q\leq 0$ c-à-d $q=0$ c-a-d $p=1$ c'est ca?
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Non, ce n'est pas cela. La convergence à lieu ssi q<1. Prend comme exemple $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ détermine, un primitive et vois que l'intégrale est convergente.
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Ah oui j'ai fait une erreur d'inattention... Merci :-)
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J'aurais une deuxième question par rapport à cet exercice. J'aimerais exprimer la norme $\|f\|_p$ à l'aide de la fonction bêta $$B:\mathbb R_{>0}\times \mathbb R_{>0}\to \mathbb R,\quad B(x,y)=\int_{]0,1[}(1-t)^{x-1}t^{y-1}\mathrm{d} \lambda(t)$$Dans mon premier calcul je tombe sur un truc un peu proche $\|(1-x^2)^\alpha\|_p^p=2\int_0^1[(1+x)(1-x)]^{p\alpha}$ mais pas exactement ce que je cherche...
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Quelqu'un aurait-il une piste?
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Le centre de $t$ et $1-t$ est $\frac 1 2$.
Le centre de $1+x$ et $1-x$ est $1$.
Il te suffit de trouver un changement de variable convenable pour «recentrer» -
Ca marche merci :-)
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Bonjour!
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