Frontière et espace vectoriel normé

@ OShine : RLC veut te faire découvrir la notion de connexité sans le dire explicitement. La connexité d'un ensemble E a plusieurs caractérisations, cerche celle qui s'approche le plus de ce que tu as fait (ici oui va consulter tes tout-en-un, ou internet). Et finalement tu pourras répondre s'il est possible de décomposer Rⁿ en deux sous-ensemble ouverts disjoints. La reponse devant être justifiée !!

Et c'est dommage parce qu'avec la connexité on peut montrer de jolis résultats par un bel argument au niveau de OS. Au hasard les zéros isolés, et des membres doivent avoir des applications plus originales mais élémentaires.

Je me doute bien que tu ne sais pas $]-1;1[$ en deux ouverts disjoints non vides. La question c'est est-ce que tu peux expliquer pourquoi. Juste une explication "avec les mains" pour commencer.

Il ne s'agit pas de lui faire étudier une notion hors programme (tout en n'étant pas si élaborée que ça quand d'autant plus le programme de mp sur le sujet se résume à une définition et à une méthode pour montrer qu'une partie de R est un intervalle).
Il s'agit de le mettre une fois de plus face à ses névroses mathématiques grâce à un exemple très simple.
Tu veux la réponse OShine, comme toujours ? Bah la voilà :

Si R^n est union disjointe de deux ouverts, disons U et V, alors V est complémentaire de U, mais comme il est ouvert, cela signifie que U est fermé. Mais U est aussi ouvert, donc avec le 2) de ton exercice il est égal à R^n tout entier ou est vide.

C'est donc simplement une relecture immédiate du résultat de ton 2). Une relecture tellement immédiate qu'un étudiant suffisamment compétent pour arriver en L2 au cours sur les evn devrait la faire de tête (bien que je suis sûr que tu vas trouver ça difficile quand même...).
Mais le pire c'est que tu n'as encore pas utilisé d'intuition géométrique. Là, la relation ensembliste toute simple utilisée pour résoudre l'exercice aurait pu être aperçue encore plus facilement en voyant que le problème se ramenait exactement à celui que tu venais de résoudre. Je dessine un ouvert, je vois que si son complémentaire et lui sont ouverts il faut que la frontière soit vide et... oh surprise !
Ne faire aucun lien à ce point est effrayant. Ou alors ne faire aucun dessin à ce point est effrayant. Le second prouve que tu n'as absolument pas travaillé à part à faire comme d'habitude "Bonjour, je sèche sur cet exercice de mon livre : "Montrer que si E est un evn, il ne peut s'écrire comme union de deux ouverts disjoints tous deux non vides". J'ai écrit que si U est ouvert, pour tout x dans U, il existe e tel que B(x,e) est inclus dans U. Je suis bloqué là :-S ".
Enfin, vu que je SAVAIS que tu allais le faire le coup de "gngngneu la convexité est au programme de MP quel intérêt aurais-je à y toucher alors que le livre la met chapitre 16 partie 4 alors que je suis chapitre 9 partie 3 ?", je voulais que tu voies qu'en fait ton fameux livre, comme tous les exercices que tu fais en les oubliant le jour d'après, n'arrêtent pas de te mettre les pieds dans le "hors-programme" en se disant que ça ferait plaisir à ta culture mathématique, que ça te facilitera l'apprentissage plus tard, que ça te familiarise avec de nouveaux outils d'avance, que ça te montre à quoi servent certaines notions pour en construire d'autres. Un peu comme l'exercice sur la mid-convexité. Tu te souviens, tu l'as fait faire deux fois au forum sur deux topics de dix pages. Encore heureux que ton livre ne soit pas du genre à mettre des commentaires pour ceux qui aiment les maths comme "Cette propriété de E est appelée sa convexité, elle traduit que E est "d'un seul morceau"". Tu dirais "convexité ? Hors programme je fais pas je verrai plus tard".

Allez la bise.

Salut
Dans le $\Q$-espace vectoriel $\Q$. Que dire de $A=\{q\in\Q\mid q^{2}<2\}$ ?

Bonjour,

c'est pas une question puisque $A=\overline{A}=int(A)$. C'était un exemple pour OS qui n'est pas un ev, donc plutôt une question pour lui. Après il peut prendre n'importe quel sous-espace vectoriel d'un $\K$-ev ($\K=\R$ ou $\C$), mais la question a été déjà été tranchée dans les post précédents.