Calculer cette integrale
Salut à tous
Comment calculer cette intégrale
$$I_n=\int_0^\infty \frac{\sinh^{2(n+3)}(t)}{\cosh^{2(n+5)}(t)} dt, \quad \text{pour tout } n\in\mathbb N.
$$ On a $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sinh^{2(n+3)}(t)}{\cosh^{2(n+5)}(t)} dt= \int_0^\infty \frac{dt}{\sinh^{4}(t)\coth^{2n+10}(t)} dt$.
Et on sait que $ \coth(x)=\dfrac {\cosh (x)}{\sinh (x)}$ et que sa dérivée est $ \dfrac {-1}{\sinh} ^{2}.$
Merci d'avance.
Comment calculer cette intégrale
$$I_n=\int_0^\infty \frac{\sinh^{2(n+3)}(t)}{\cosh^{2(n+5)}(t)} dt, \quad \text{pour tout } n\in\mathbb N.
$$ On a $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sinh^{2(n+3)}(t)}{\cosh^{2(n+5)}(t)} dt= \int_0^\infty \frac{dt}{\sinh^{4}(t)\coth^{2n+10}(t)} dt$.
Et on sait que $ \coth(x)=\dfrac {\cosh (x)}{\sinh (x)}$ et que sa dérivée est $ \dfrac {-1}{\sinh} ^{2}.$
Merci d'avance.
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Réponses
Je n'ai rien essayé mais ma première idée serait de revenir à une écriture avec des exponentielles.
As-tu essayé ?
D'ailleurs, qu'as tu essayé ?
Cela se calcule très bien en exprimant ta fonction avec la fonction $\tanh$
La fonction vaut $f(t)=\tanh(t)^{2n + 6} (1 -\tanh(t)^2)^2$ et puisque
$\tanh(t)'=1 -\tanh(t)^2 $ on trouve une primitive de $f$ immédiatement.
$$\int f(t) dt = \int_0^\infty \tanh(t)^{2n + 6} (1-\tanh(t)^2)^2 dt = \int_0^\infty \tanh^{2n+6}(t)(\tanh'(t))^2 dt $$
$$I_n=2^4\int_0^\infty \frac{(e^t-e^{-t})^{2n+6}}{(e^t+e^{-t})^{2n+10}} dt.$$
$I_n=\int_0^\infty \tanh(t)^{2n + 6} (1 -\tanh(t)^2) (1 -\tanh(t)^2) dt$
$I_n=\int_0^\infty [\tanh(t)^{2n + 6} (1 -\tanh(t)^2)-\tanh(t)^{2n + 8} (1 -\tanh(t)^2) ] dt$
et tu as deux morceaux qui s'intègrent de la même façon et facilement .
$\begin{align}
I_n &= \int_0^\infty \tanh(t)^{2n + 6} (1-\tanh(t)^2)^2 dt = \int_0^\infty \tanh^{2n+6}(t)(\tanh'(t))^2 dt \\
&=\int_0^\infty [\tanh(t)^{2n + 6} (1 -\tanh(t)^2)-\tanh(t)^{2n + 8} (1 -\tanh(t)^2) ] dt\\
&=\int_0^\infty [ \tanh(t)^{'} \tanh(t)^{2n + 6} - \tanh(t)^{'} \tanh(t)^{2n + 8} ] dt \\
&=\left[ \frac{\tanh(t)^{2n + 7}}{2n+7} - \frac{\tanh(t)^{2n + 8}}{2n+9} \right]_0^\infty\\
&=\frac{1}{2n+7} - \frac{1}{2n+9}=\frac{2}{(2n+7)(2n+9)}.
\end{align}$
Merci infiniment @bd2017 (tu)