Ensemble des polynômes et fermé
Réponses
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Encore une fois, tu montres un scan du corrigé dans le bouquin mais aucune trace de travail personnel.
Je vais essayer de m'engager à ne pas t'aider dans ce fil tant que tu ne montres pas que tu as essayé quelque chose et que tu formules une question claire sur ce que tu n'as pas compris. -
Ils te parlent de caractérisation séquentielle de la fermeture. Pourquoi diable ne vas-tu pas relire de quoi il s'agit plutôt que "c po juste comprends po" ?
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OShine, je sais qu'on te le dit souvent mais c'est très grave là. Très très grave.
Va te coucher et regarde demain à nouveau. -
Alors, travail personnel : démontrer que si $P_n$ tend vers $P$, alors $\|P_n\|$ tend vers $\|P\|$.
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Change de livre. Et cherche...
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Tu te rends compte que ton premier réflexe devrait être de faire ce qu'HT te dit de faire dans ce message ? C'est vraiment la base de la base. Là tu vois quelque chose que tu n'as jamais(*) vu tout cuit, et comme tu es incapable de la moindre initiative personnelle, tu viens demander la réponse ici.
En continuant comme ça tu auras le "niveau" pour envisager de préparer l'agreg dans deux siècles, et je ne plaisante absolument pas.
(*) Tu l'as certainement déjà lu dans un corrigé, mais pour la millième fois, ce n'est pas en lisant des corrections toutes prêtes que l'on retient les choses en maths. -
@OShine oui essaie de faire l'exo d'Homo Topi ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2278852,2278874#msg-2278874 tout seul comme ça ce résultat te restera peut-être dans le cerveau. D'ailleurs fais-le pour un espace normé quelconque car le résultat est vrai de manière générale : si $(v_n)$ est une suite de vecteurs qui tendent vers $v$ dans un espace normé $(E, \|.\|)$ alors $\|v_n\|$ tend vers $\|v\|$.
Tu ne trouves pas qu'il est intuitif ce résultat ? Non ? Alors essaie de dessiner deux vecteurs du plan "proches" mais dont les normes sont "éloignées"... -
Et en plus c'est la partie simple. L'étoile s'applique sans doute à la deuxième question.
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Montrons que $||P_n|| \longrightarrow ||P||$...
On sait que $P_n \longrightarrow P$ donc $||P_n - P|| \longrightarrow 0$
Par la seconde inégalité triangulaire, on a : $0 \leq | ||P_n|| - ||P|| | \leq || P_n -P|| $ donc par le théorème d'encadrement, on a $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} ||P_n|| - ||P| =0$ et donc $||P_n|| \longrightarrow ||P||$.
@RLC tu sais faire la première question ? -
non c'est correct ( symbole de v.a pas bien vu...)
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Alors pour la première question je vais t'aider en direct .
Soit $r$ le degré de $p$ et $c$ le coeff de $x^r$ de $P$ (pour le reste je ne m'occupe pas du corrigé)
Posons $a_r^n$ le coefficient de $x^r$ de $P_n$ (éventuellement nul si deg $P_n >r$)
Alors on a $|a_r^n-c| \leq ||P-P_n|| $ et on fait tendre n vers l'infini. Qu'en déduit-on? et continuer si possible.... -
Je pense que la plupart des membres savent faire la première question. Pour la deuxième j'admets que je dois y réfléchir.
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Rebonjour
Pour la deuxième comme ça vite fait, je dirai que c'est immédiat avec le théorème de Rouché. Mais j'ai la flemme de vérifier et surtout que je connais d'avance la réponse de @Os "je n'ai pas encore étudié....blabla.
Par contre pour une démonstration avec moyens élémentaires je ferai bien comme ceci.
1. Dans la question précédente (telle que je la propose et dont j'attends qu'@Os se fatigue à finir et faire autre chose que lire son corrigé) je pense qu'à partir d'un certain rang on démontre que la suite $P_n$ a le degré constant r (celui de P)
Donc je peux supposer que tous les $P_n$ ont le même degré.
2. Je désigne par $x_n^1$ la plus grande racine de $P_n.$ La suite $(x_n^1 )$ est bornée
(En effet tout racine a de $P_n$ vérifie ($|a|\leq 1+ ||P_n|| $ )
Donc on extrait une sous-suite de cette qui converge vers un réel $y$ et on montre facile que y
est racine de P.
3. Pour finir on écrit $P_n=(x-x_n^1) Q_n$ et recommence le travail avec $Q_n$
Bon! faut écrire un peu mais c'est pas mon travail. -
Je ne connais pas le théorème de Rouché, mais en le cherchant sur Wikipédia, j'ai l'impression qu'il englobe une preuve que je connais, qui est plutôt géométrique.
(indice: regarder, et minorer, la valeur du module d'un polynôme scindé à racines réelles en un point $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$)
EDIT: ce n'est pas une question que je considère facile (en fait, je l'ai revue récemment en lisant mes cours de spé ...), en tout cas pas sans indication, c'est sûr. Mais ça m'a aidé à comprendre, un peu, mieux les polynômes. Courage OShine, écoute RLC et Homo Topi ! -
Rouché: Si tu considères un nombre complexe $z_0$ (non réel ici) et un cercle $\gamma$ de centre $z_0$ et de rayon (qu'on choisira assez petit par la suite.
Si on a pour tout $z\in \gamma, |P(z)-P_n(z)|< | P_n(z)|$ le théorème de Rouché dit que $P_n$ et $P$ ont le même nombre de racines (en tenant compte de la multiplicité) dans l'intérieur de $\gamma$ c'est dire à dire que
P n'aura pas de racine dans $\gamma.$
Mais vu que la suite $P_n$ converge vers $P$ "on voit" que la condition sera assez facile à vérifier pourvu que le rayon soit assez petit. (à voir!) -
Il y a une solution donnée par john_john qui règle le problème en une ligne http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2263658,2263724#msg-2263724
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@bd2017 oui bon ça ne prend pas une ligne mais c'est facile :
Soit $p=(X-x_1)\cdot ... \cdot (X-x_d)$ avec pour tout $1\leqslant k\leqslant d, x_k\in \mathbb{R}$.
On a $p(x+iy)=(iy+x-x_1)\cdot ... \cdot (iy+x-x_d)$ et donc $|p(x+iy)|=|iy+x-x_1|\cdot ... \cdot |iy+x-x_d|\geqslant |y|^d$ car pour tout $j\leqslant d, |iy+x-x_j|\geqslant |y|$.
Réciproquement, si $\forall z\in \mathbb{C}, |p(z)|\geqslant |\Im(z)|^d$ il est évident que toutes les racines de $p$ ont une partie imaginaire nulle. -
Il n'y a pas besoin de l'équivalence ici, un sens suffit: pour tout complexe, $|P_{k}(z)|=\prod_{1\leq i\leq n} |z-x_{i}|\geq d(z,\mathbb{R})^{n}$ qui est strictement positif si $z$ n'est pas réel, et par continuité de l'évaluation en $z$ l'inégalité se transporte à la limite, c'est à dire qu'aucune racine du polynôme limite n'est dans $\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$.
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moi, non!
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P.S: @Os ma méthode est très simple: Je commence à raisonner (d'ailleurs je ne suis pas allé plus loin que ce j'ai écrit)
Et je te demande de faire au moins un pas de plus. Et si possible de continuer encore et jusque la fin pourquoi pas.
C'est-à-dire que la seule méthode qui marche et que tu ne veux pas appliquer c'est de faire un minimum, de démonstration, un "epsilon" ...
Toi, tu veux un corrigé et tu demandes qu'on t'explique. Cela ne sert à rien et c'est presque du foutage de gueule de demander pourquoi, il y a ceci à la ligne n de la démo alors que tu nous donnes même pas la suite...
De temps en temps on y croit un peu, c'est notre faiblesse. -
Question $1$ corrigé du livre :
$P(X)=cX^r+ a_{r-1}X^{r-1} + \cdots + a_1 X+a_0$
Notons $r$ le degré de $P$ et $c$ le coefficient dominant de $P$. Comme $P_n \longrightarrow P$, il existe un rang $n_0 \in \N$ tel que $n \geq n_0 \implies ||P_n-P||_{\infty} \leq \dfrac{ \min( |c|,1)}{2}$
Pour $n \geq n_0$, on a nécessairement $\deg (P_n)=r$ car :- Si $\deg(P_n) <r$ alors le coefficient devant le degré $r$ de $P_n-P$ vaut $c$ et alors $||P_n-P||_{\infty} \geq |c| > \dfrac{ \min( |c|,1)}{2}$
- Si $\deg(P_n) >r$, alors le polynôme $P_n-P$ est unitaire et par conséquent, $||P_n-P||_{\infty}=1 > \dfrac{ \min( |c|,1)}{2}$
Je n'ai pas compris pourquoi si $\deg(P_n) >r$, alors le polynôme $P_n-P$ est unitaire :-S
Pour $n \geq n_0$, comme $P_n$ est degré $r$ et unitaire, on a alors :
$||P_n-P||_{\infty} \geq |1-c|$. Comme $||P_n-P||_{\infty} \longrightarrow 0$, on a nécessairement $c=1$. -
Si $\deg(P_n) > \deg(P)$, alors quel est le coefficient dominant de $P_n - P$ !?!?!?
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Ah oui c'est le coefficient dominant de $P_n$ qui vaut 1 par hypothèse.
J'ai maintenant compris la correction de la question 1 mais je n'aurais jamais pu trouver ça seul. -
Ben, il faut bidouiller un peu, c'est tout. C'est tout le temps comme ça en maths.
On te demande de montrer qu'un machin est un fermé. Pour ça, tu vas utiliser la caractérisation séquentielle : si une suite dans la partie converge, alors sa limite est dans la partie. Dans notre exercice, ça revient à montrer que la limite d'une suite convergente de polynômes unitaires est encore un polynôme unitaire. Donc tu es censé comprendre par toi-même qu'il faut regarder les coefficients dominants et voir ce qu'il se passe. Donc c'est naturel qu'il va y avoir des distinctions de cas à cause du degré. Rien d'étonnant du tout. Combien avais-tu écrit par toi-même avant de te jeter sur le corrigé ? -
@Homo Topi
Rien j'ai été impressionné par la question.
Pour les autres qui ont traité la question $2$, (Polka, RoulS) voici le corrigé du livre.
Procédons par caractérisation séquentielle. Soit $(P_n)$ une suite d'éléments de $S$ convergeant vers $P \in \R[X]$. Montrons que $P \in S$.
D'après la question précédente, on sait que $P$ est unitaire. Il s'agit donc de montrer que $P$ est scindé dans $\R[X]$, c'est-à-dire que $P$ ne possède pas de racine complexe non réelle. Donnons-nous $z \in \C \backslash \R$ et prouvons que $P(z) \ne 0$.- Il a été établi à la question précédente que si l'on note $r= \deg P$ alors il existe un rang $n_0 \in \N$ tel que $\forall n \geq n_0 \ \ \deg(P_n)=r$.
- Ensuite, si $P \in \R[X]$ est un polynôme unitaire et scindé de degré $r$ alors en notant $z_1, \cdots, z_r$ ses racines réelles on a :
$P=\displaystyle\prod_{k=1}^r (X-z_k)$ et donc $|P(z)|=\displaystyle\prod_{k=1}^r |z-z_k|$
Comme pour tout $k \in [|1,r|]$ on a $|z-z_k|=\sqrt{(Im \ z)^2+(Re \ z- Re \ z_k)^2 } \geq |Im \ z|$
On obtient $|P(z)| \geq |Im \ z|^r$
Cette inégalité s'applique en particulier aux polynômes $P_n$ et pour $n \geq n_0$ : $\boxed{\forall n \geq n_0 \ \ |P_n(z)| \geq |Im \ z|^r}$
Il suffit alors de montrer que $P_n(z) \longrightarrow P(z)$
Comme $ |Im \ z|^r >0$, un passage à la limite dans la relation encadrée donnera $|P(z)|>0$ et donc $P(z) \ne 0$.
Pour $n \geq n_0$ on a $\deg(P_n)=r$ et donc on peut écrire :
$P_n= \displaystyle\sum_{k=0}^r a_k ^{(n)} X^k$ et $P=\displaystyle\sum_{k=0}^r a_k X^k$
Ainsi, on a $P_n(z)= \displaystyle\sum_{k=0}^r a_k ^{(n)} z^k$ et $P(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^r a_k z^k$
Par définition de la nome infinie, la convergence $P_n \longrightarrow P$ donne la convergence de chacune des suites de coefficients $\forall k \in [|0,r|] \ a_k ^{(n)} \longrightarrow_{n \longrightarrow + \infty} a_k$. La convergence $P_n(z) \longrightarrow P(z)$ résulte alors simplement d'opérations sur les limites.
Je n'ai pas compris le passage en rouge. J'ai écrit $||P_n-P||_{\infty}= \max_{k \in \N} |a_k ^{(n)}-a_k|$ mais après je ne vois pas :-S -
Franchement tu exagères encore. C'est littéralement une application de définition. Tu as déjà tout écrit...
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C'est vraiment une excuse bidon de dire "j'ai été impressionné par la question". Et c'est ridicule... ça ne te dérange pas de te ridiculiser en permanence sur le forum ? Est-ce que tu sais que quand un exercice te pose une question, tu peux/dois chercher dans ton cours les résultats théoriques qui sont susceptibles de t'aider à y répondre ? Ici, on te demande de démontrer qu'un machin est fermé. Alors on cherche dans le cours, et on tombe sur la caractérisation séquentielle des fermés. Alors on essaie de démontrer qu'une suite convergente de polynômes unitaires a une limite qui est unitaire.
Ensuite, tout le monde s'en fout ici que tu recopies les corrigés de ton bouquin. Et on te l'a déjà dit, plein de fois. Tu dois arrêter de te jeter sur ces corrigés. On n'apprend pas en lisant des corrigés. On n'apprend rien. A toi de me dire si tu es borné, idiot, ou narcissique au point de croire que toi, tu es le seul humain capable d'apprendre des maths en lisant passivement un corrigé. Sinon, change ton attitude, ça fait longtemps que je te le dis. Prends confiance que tu sais faire des choses, et fais-les.
Pour le passage en rouge, réfléchis par toi-même pour une fois. Tu sais que $(P_n)_n$ tend vers $P$ au sens de la norme infinie. Donc tu sais quelque chose au sujet de ces $\max$. -
Bref c'est toujours le même schéma.
1. Je ne cherche pas à faire le moindre raisonnement.
2. Je demande une explication d'une partie du corrigé alors que les intervenants n'ont pas le corrigé (mais savent faire la question tout de même! ).
3. Je ne m'intéresse à aucune autre démarche même en étant guidé car c'est automatiquement du chinois.
4. J'oublie le peu que j'ai pu comprendre du corrigé et je me fous complètement des conseils.
5. Je reposerai la même question dans quelques temps.
@H.T pourquoi te fatiguer ....Personne n'a réussi à le faire progresser. (:D -
Ta dernière question est difficile elle est niveau Mp* c'est du chinois cantonais qui aurait été réussie que par 10% des candidats d'après le jury
Blague à part c'est juste...dingue d'avoir ce niveau avec la quantité de travil que tu fournis... Faut raccrocher un peu! -
OShine, par rapport à ta dernière question, j'hallucine. Tu es en face d'un truc évident que tu ne vois pas parce que tu ne recolles pas les bouts ensemble.
On te dit que la limite d'un max tend vers $0$. Tu es quand même capable d'en déduire quelque chose, bon sang ! -
Oui, on te renvoie au point 1) de bd sur ce coup. On va pas non plus devoir t'expliquer ce qu'est un max sérieux, qu'est-ce qu'on peut faire de plus ? Et arrête de ne rien poster la journée et de poster à 2h du mat', c'est n'importe quoi. Ca en dit long sur ton hygiène de vie. Si tu as pas le temps la journée, c'est pas grave, on ne t'en veux pas, tu as ta vie, tu fais ce que tu veux, tu es en vacances... mais ne viens pas dire que tu fais sérieusement des maths à cette heure là et que tu prends nos questions au sérieux en postant la nuit, c'est pas respectueux.
Moi, j'envisage sérieusement l'idée qu'à un moment donné, tu es trop bête/stupide (désolé, censurez-moi si vous trouvez que je vais trop loin) pour faire des maths. Enfin, je veux dire, quand on voit la bassesse des questions que tu poses, il est clair que t'es pas fait pour ça, c'est tout, c'est pas grave. C'est le cas de milliards de gens sur cette planète. Simplement, eux n'essayent pas d'en faire jour et nuit, de passer l'agreg, d'être prof de maths etc... Moi, je suis nul en cuisine donc je fais du riz, des pâtes et je commande en ligne (par contre, je peux pas dire que j'ai sérieusement essayé de m'y mettre, c'est peut-être là la différence, c'est que ça me gonfle, mais encore une fois, sans avoir trop essayé). D'une certaine manière, je suis "stupide/bête" en cuisine et donc je n'interviens pas sur marmiton et je ne poste pas sur instagram mes exploits culinaires. Cela dit, faire cela serait une démarche de m'améliorer tout comme le fait que tu prends la peine et le temps de poster ici mais par ailleurs, les points que soulèvent bd demeurent depuis trop longtemps donc pas d'évolution.
Histoire de raconter ma vie, je fais du sport en loisir mais pas en compétition. Pourquoi ? Je ne vais pas à l'entraînement, ça me gonfle de faire des batteries d'exos à répétition... Mais du coup, je progresse très lentement voire pas du tout et je fais une croix sur la compét' mais je prends du plaisir à jouer en loisir (avec un niveau constant) et ça me suffit et je ne me sens pas frustré ou triste de ne pas être meilleur. Après tout, plein de profs de maths de secondaire se satisfont dans leur niveau de connaissance dans la matière et ne cherchent plus depuis qu'ils ont quitté les bancs de la fac et réussi leurs concours à s'améliorer en maths. Ce n'est pas forcément un mal (ils s'appliquent à d'autres choses et passent leur temps autrement, y compris sur des maths, mais pas des maths universitaires de supérieur, plus des maths ludiques,..). Par contre, ils l'assument et le vivent très bien. Toi, en revanche, c'est tout l'inverse. -
Vu les posts d'Oshine, je n'irais clairement pas jusqu'à dire qu'il est trop bête pour faire des mathématiques. Par contre, il n'a aucune patience. Il ne tient pas 24h sans regarder un correctif, d'où une incapacité à résoudre n'importe quel exercice qui n'est pas "tuyau".
En plus je n'arrive pas à comprendre pourquoi Oshine veut devenir prof à ce point-là. Vous me direz que ça ne me regarde pas, mais c'est quand même bizarre. En général pour vouloir faire un job aussi mal payé et qui demande autant de travail pour préparer le concours, il vaut mieux être passionné non ? (Au moins au début, avant que les élèves ne vous dégoûtent. :)o ) Ici on ne sent aucune passion d'Oshine ni pour les maths, ni pour l'enseignement, juste un acharnement douloureux.
Après concernant les heures de sommeil, là je ne ferrai pas de commentaires car ça dépend de chacun. Moi-même j'avais tendance à mieux travailler tard le soir (même si 2h du mat, ça devient extrême). En tous les cas, je pense que le problème d'Oshine n'est pas intellectuel mais qu'il est volitionnel. Il oriente très mal sa volonté et peut-être même qu'en fait, il ne sait pas vraiment ce qu'il veut. -
C'est bien, tu es conscient de tes limites. Tout le monde n'est pas doué pour les maths. Ce n'est pas grave. On peut parfaitement vivre très heureux sans être doué en maths.Oshine a écrit:@Homo Topi comment tu veux que je trouve des trucs aussi compliqués ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Il y a une limite, un maximum et une valeur absolue. Ca fait un peu beaucoup pour moi.
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N'as-tu jamais étudié la convergence uniforme ???
C'est exactement ces 3 ingrédients que tu y retrouves. -
La valeur absolue est toujours là quand il y a une limite (si tu écris la définition d'une suite qui converge vers $L$, ou d'une fonction qui a pour limite $L$ en un point $a$, tu vas la voir, la valeur absolue). N'oublie pas que la valeur absolue d'une différence, c'est une distance. Vu que tu connais un peu de topologie maintenant, ça tu devrais le savoir.
On te dit que le max d'une famille de trucs positifs tend vers $0$, prends-toi le temps de comprendre ce que ça veut dire et tu verras que tu vas y arriver. -
@Oshine. On n'apprend pas à faire des maths en lisant des corrigés : la Va est nulle. Je me souviens avoir séché tout un week-end sur le théorème de Ménélaüs en 4ieme (ça date...). Qd mon prof m'a expliqué le coup de la droite pour me ramener à Thalès, j'ai halluciné !
Mais, il faut apprendre à chercher et à comprendre, sinon ça ne sert à rien. Sécher au moins une heure sur une question ne sera jamais une perte du temps si tu écris des choses... Qu'est ce que tu risques à part "gâcher" du papier ? Absolument rien... -
Pour répondre à la question, il n'y a vraiment pas beaucoup plus à écrire que ce que tu as déjà écrit. Ce qu'il te manque, c'est de comprendre pourquoi tu as déjà tous les éléments pour répondre.
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OShine a écrit:On a $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \max_{k \in \N} |a_k ^{(n)}-a_k| =0$ Mais en quoi ça permet d'en déduire que $a_k^{(n)} \longrightarrow a_k$ pour tout $k \in \N$ ?
Il y a une limite, un maximum et une valeur absolue. Ca fait un peu beaucoup pour moi.
OShine on en a déjà discuté, tu n'y arrives pas parce que tu ne fais pas des maths pour les bonnes raisons. Ici c'est flagrant car effectivement je suis comme les autres de l'avis que depuis que tu es sur ce forum tu devrais pouvoir répondre à cette question vraiment très basique.
Mais ne va pas croire que tu es le seul. Personnellement c'est une partie de l'informatique qui me rebute. Celle qui touche à l'installation des dépendances et de tout le tsoin tsoin pour commencer à coder. Je n'ai jamais pu m'améliorer dans ce domaine particulier car je n'aime pas et comme toi j'avais régulièrement besoin des autres pour me débloquer. -
Encore faut-il savoir quoi écrire. Si je reste bloqué 10 min sans idée, généralement j'ai pas d'idées qui vont venir après.
@RaoulS
Je ne sais pas répondre.
Je commence à ne plus aimer les maths, car je vois que je suis trop nul et que tout le monde se moque et ne comprend pas comment je peux rester bloquer sur certains détails et certains exercices qui sont infaisables pour moi. -
Alors c'est que tu n'as pas compris les concepts de niveau L1 qui sont utilisés ici.
Tu as une expression avec une limite suivant $n$. Donc pour l'instant, tu fixes $n$, on prendra la limite à la fin (puisque la limite est l'opérateur le plus extérieur dans la formule). A $n$ fixé, donc tu disposes d'une famille, la famille des $|a_k^{(n)} - a_k|$. J'appelle $u_n = |a_k^{(n)} - a_k|$. Que représente $u_n$ ici ?
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