Formule de Poincaré
$\newcommand{card}{\mathrm{card\,}}$Bonjour,
Etant donné que je passe mes journées à créer mes cours de l'an prochain de collège, je n'ai plus trop le temps d'étudier mais pour finir ma première semaine de MOOC il me reste cet exercice à faire.
Les profs du MOOC ont bien écrit "LE TROISIÈME EXERCICE EST PLUS DIFFICILE ET S'ADRESSE À DES ÉTUDIANTS AVANCÉS.".
Question 1 :
$f_{\bar{A}}=1-f_A$, $f_{A \cap B}=f_A f_B$, $f_{A \cup B}= f_A+f_B -f_A f_B$.
Question 2 :
$\boxed{(X-a_1)(X-a_2) \cdots (X-a_n)=X^n - \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i X^{n-1} + \cdots + (-1)^k \displaystyle\sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots <i_k \leq n} a_{i_1} \cdots a_{i_k} X^{n-k} + \cdots + (-1)^n \displaystyle\prod_{i=1}^n a_i}$
Question 3 :
$f_{\displaystyle\cup_{i=1}^n A_i}=1-f_{\displaystyle\cap_{i=1}^n \overline{A_i}}=1- \displaystyle\prod_{i=1}^n f_{\overline{A_i}}$
Mais $\forall i \in [|1,n|]$ on a $f_{\overline{A_i}}= 1- f_{A_i}$
Donc $f_{\displaystyle\cup_{i=1}^n A_i} = 1- \displaystyle\prod_{i=1}^n (1-f_{A_i})$ et on conclut avec la question précédente en prenant $X=1$ et $f_{A_i}=a_i$ pour tout $i \in [|1,n|]$.
Question 4.a :
$\displaystyle\sum_{x \in E} f_A(x)= \sum_{x \in A} f_A(x)+ \sum_{x \notin A} f_A(x) =\sum_{x \in A} 1 +0$
Finalement $\boxed{\displaystyle\sum_{x \in E} f_A(x) = \card A}$
Question 4.b :
Je n'ai pas réussi.
Etant donné que je passe mes journées à créer mes cours de l'an prochain de collège, je n'ai plus trop le temps d'étudier mais pour finir ma première semaine de MOOC il me reste cet exercice à faire.
Les profs du MOOC ont bien écrit "LE TROISIÈME EXERCICE EST PLUS DIFFICILE ET S'ADRESSE À DES ÉTUDIANTS AVANCÉS.".
Question 1 :
$f_{\bar{A}}=1-f_A$, $f_{A \cap B}=f_A f_B$, $f_{A \cup B}= f_A+f_B -f_A f_B$.
Question 2 :
$\boxed{(X-a_1)(X-a_2) \cdots (X-a_n)=X^n - \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i X^{n-1} + \cdots + (-1)^k \displaystyle\sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots <i_k \leq n} a_{i_1} \cdots a_{i_k} X^{n-k} + \cdots + (-1)^n \displaystyle\prod_{i=1}^n a_i}$
Question 3 :
$f_{\displaystyle\cup_{i=1}^n A_i}=1-f_{\displaystyle\cap_{i=1}^n \overline{A_i}}=1- \displaystyle\prod_{i=1}^n f_{\overline{A_i}}$
Mais $\forall i \in [|1,n|]$ on a $f_{\overline{A_i}}= 1- f_{A_i}$
Donc $f_{\displaystyle\cup_{i=1}^n A_i} = 1- \displaystyle\prod_{i=1}^n (1-f_{A_i})$ et on conclut avec la question précédente en prenant $X=1$ et $f_{A_i}=a_i$ pour tout $i \in [|1,n|]$.
Question 4.a :
$\displaystyle\sum_{x \in E} f_A(x)= \sum_{x \in A} f_A(x)+ \sum_{x \notin A} f_A(x) =\sum_{x \in A} 1 +0$
Finalement $\boxed{\displaystyle\sum_{x \in E} f_A(x) = \card A}$
Question 4.b :
Je n'ai pas réussi.
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Réponses
Essaie d'utiliser les questions précédentes ?
ÉDIT : nan j’ai rien dit, je parlais d’une question que tu as déjà traitée avec succès.
Une bonne chose serait d'écrire la formule pour n=3, 4, 5 même pour comprendre sa logique (la formule avec les Sigmas est très barbare), et de reprendre les cas n=3 et 4 sans la formule mais en utilisant ce que tu connais sur le cardinal de l'union, en partant de 2, pour comprendre que la propriété passe bien par récurrence.
Cette manière de faire sur ton MOOC est classique mais astucieuse. Voir un peu le principe de la récurrence sans forcément la rédiger (et encore, ça pourrait être formateur) pourrait être un bon exercice.
Edit : je trouve ça bien artificiel cette formule du crible pour calculer l'indicatrice d'Euler
Obstacle quasi insupportable quand on n'a pas de mémoire.
Pour un élève de prépa, l'exercice est faisable. La question 2 j'ai su faire car j'ai étudié ça dans le cours de MPSI (polynôme relation coefficients racines).
Je ne vois pas comment traiter cette question.
$\card ( \displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i)=\sum_{x \in E} f_{\cup_{i=1}^n A_i} (x)$
Je ne vois pas comment ça pourrait se simplifier.
Partant de là, mieux vaut éviter de se mettre les mains sur les hanches et de se mettre à discourir "AH BEH avec le niveau du lycée moderne en même temps ça m'étonne qu'à moitié c'teu honte j'vous jure...".
Tu n'es même pas censé utiliser un cours sophistiqué sur les relations coefficients racines pour répondre à 2. Juste savoir développer un produit...
.
Je suis curieux de voir l'arithmétique ensuite, la question 5 va résonner un bon moment j'ai l'impression...
1) c'est les formules du cours de 2nd de proba $\mathbb{P}(A \cup
2) C'est comment développer un produit de plusieurs facteurs (plus de 2) donc c'est de la distributivité et le phénomène des fonctions symétriques élémentaires peut s'observer sur des petits degrés, donc ok, le lycéen ne connaissant pas les sommes doubles/multiples ne va pas formaliser ça correctement, mais il aura compris l'idée
3) Sé déduit de 1) et 2) avec la ruse qui consiste à passer par le complémentaire mais bon, on te dit d'utiliser "Morgan" donc y'a pas d'idée folle sortie du "chapeau" à trouver.
4a) évident
4b) tout est fait avant.
Pour l'agreg typiquement, je pense qu'il FAUT connaître la formule du crible, savoir la démontrer sans être guidé (peut-être de plusieurs manières comme par récurrence par exemple) et connaître 1 ou 2 exemples d'applications. C'est ça le recul qu'on attend d'un agrégatif. Sinon, ça ressemble tout juste à un sujet d'écrit de CAPES.
Je sais que :
$\card( \displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i)=\sum_{x \in E} f_{\cup_{i=1}^n A_i} (x)$
Donc :
$\card( \displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i) =\sum_{x \in E} \sum_{i=1}^n f_{A_i} (x) - \sum_{x \in E} \sum_{1 \leq i<j \leq n} f_{A_i \cap A_j} (x)+ \cdots + (-1)^{k+1} \sum_{x \in E} \sum_{1 \leq i_1 <i_2< \cdots <i_k \leq n} f_{A_{i_1} \cap \cdots A_{i_k} } (x) + \cdots + (-1)^{n+1} \sum_{x \in E} \prod_{i=1}^n f_{A_i} (x)$
Or $\displaystyle\sum_{x \in E} \sum_{i=1}^n f_{A_i} (x)= \sum_{i=1}^n \card (A_i)$
Et $(-1)^{k+1} \displaystyle\sum_{x \in E} \sum_{1 \leq i_1 <i_2< \cdots <i_k \leq n} f_{A_{i_1} \cap \cdots A_{i_k} } (x)=(-1)^{k+1} \sum_{1 \leq i_1 <i_2< \cdots <i_k \leq n} \card(A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k})$
Ce qui permet de conclure.
Il me reste la question $5$ à chercher.
Faut-il compter $0$ dans le nombre de multiples ?
Soit $m \in P_i$ alors il existe un entier $q \in \N$ tel que $m = q \times p_i \leq n$ donc $0 \leq q \leq \dfrac{n}{p_i}$
Donc $\card(A_i)= E( \dfrac{n}{p_i})$ ou $\card(A_i)= E( \dfrac{n}{p_i})+1 $ ?
On pose $n= \displaystyle\prod_{i=1}^r p_i ^{\alpha_i}$.
Un nombre entier est premier avec $n$ si et seulement si il n'est divisible par aucun des $p_i$.
Donc un nombre entier n'est pas premier avec $n$ si et seulement si il est multiple d'un $p_i$ donc si et seulement si il appartient à $\displaystyle\bigcup_{i=1}^r A_i$.
Donc $\varphi(n)= \card ( \overline{\displaystyle\bigcup_{i=1}^r A_i})=\card (\bigcap_{i=1}^r \bar{A_i})$
Après je ne vois pas.
Quel rapport avec la mémoire si je n'arrive pas à faire cette question ?
Certes. Mais tu as écrit:
Mais bon, dans 10 ans, on te le dira encore. Tu n'es pas assez doué pour faire directement le cas général donc pourquoi te lances tu direct dedans ??
Sinon, tu es pas très malin. La formule du crible, c'est "cardinal d'une union". Donc avoir un cardinal d'intersection ne nous arrange pas...
NB : en question 4c), on aurait pu mettre : "en déduire une formule pour $\text{card}(\bigcap_{i=1}^n A_i)$"
Moi-même, j'ai vu un exercice dans ce genre il y a des années (en L3), je ne m'en souviens plus du tout parce que je n'ai jamais retouché à ce histoires d'indicatrice d'Euler ni rien (il y avait des histoires de formule d'inversion de Möbius aussi dans un exercice voisin, pour ceux que ça intéresse). Alors j'ai fait quoi ? J'ai posé $n=10$ pour voir si j'arrivais à voir quelque chose. C'est censé être instinctif de faire des choses comme ça ! Traiter un exemple au lieu du cas général, rajouter une hypothèse pour simplifier, faire un dessin... tu n'es plus en prépa, en prépa on prend les étudiants par la main h24 pendant 2 ans, ça c'est fini, on est dans le monde des adultes où il faut réfléchir un peu par soi-même au lieu de bêtement attendre une instruction ! Tu es prof, tu as vu comment tu fonctionnes ? Je commence à douter que tes élèves ont l'impression que tu es l'adulte dans la salle, ton comportement sur ce forum est honteux par moments ! Bon sang !
Bref. Pour $n=10$, trouve l'ensemble $E$ tel que $\varphi(10) = \text{card}(E)$. On peut énumérer tout le monde à la main, d'où l'intérêt de prendre $n=10$. Tu connaitras donc la valeur de $\varphi(10)$. Ensuite, tu définis les $A_i$ comme dans la question, toujours par rapport à $n=10$. Et non, $0$ n'est pas à compter comme un multiple. Regarde si tu vois quelque chose.
On dit qu'une fonction $f : \R \to \R$ est continue en $a \in \R$ si :
$\forall \epsilon > 0,\ \exists \eta \in \mathbb{R},\ |x-a|\leq \eta \implies |f(x)-f(a)|\leq \epsilon.$
Montrer que toute fonction $f : \R \to \R$ est continue en $1$.
La logique vient dans les semaines qui suivent.
La semaine 1 était réservée aux ensembles et applications.
Je ne comprends pas ton exercice, il n'a aucun sens. $x$ n'est pas défini. Et toute fonction n'est pas continue en $1$.
Ca m'éloigne de l'exercice que je n'ai toujours pas réussi.
Alors que tu as une formule pour le cardinal de la réunion d'ensembles dans ton problème...
"Oui mais pour le complémentaire je n'ai pas la formule, c'est trop compliqué pour moi :-S "
"De toute façon ce genre de question ne serait traité que par 5% des candidats au concours, elle est vraiment délicate à cause du niveau qui n'arrête pas de baisser au collège"
"Ah oui merci j'ai compris"
"Dans mon livre il y a un exercice qui ressemble mais ils regardent le cardinal d'une intersection pour calculer phi je ne comprends pas"
Cette question a déjà été traitée au début de l'exercice.
Je trouve $\varphi(n)=1- \card( \displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i) =1- \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \card (A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k})$.
Il a de bonnes chances d'être négatif ce $\varphi(n)$. Quand tu réfléchiras 2 secondes à ce que tu écris, fais nous signe qu'on ne soit pas surpris.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
$\card( \bar{A})= \card (E)- \card(A))$ mais ici on ne connaît pas $\card(E)$.
Quand je lis ce genre de réponse je me demande comment certains peuvent encore te faire des gros pavés pédagogiques et encore perdre leur temps. Ce que tu appelles E c'est quoi ici...
Je pense vraiment que tu es un cas désespéré. Tu ne prendras donc jamais la peine de comprendre TOUT ce que tu écris, chaque mot, chaque symbole avec ce que ça implique et ce que ça suppose ? Tu fais trop d’erreurs que je qualifierais d’inattention venant d’un parfait inconnu mathématique mais te connaissant, je sais que toutes tes malus de rédaction cachent un profond manque de compréhension de ce que tu fais.
Il n'y a pas une erreur ? Il faut pas préciser que les $A_i$ sont les multiples de $p_i$ compris entre $1$ et $n$ ? Ils oublient de préciser "multiples non nuls".
Dans ce cas on aurait $A_i \subset [|1,n|]$ et $\varphi(n)=n- \card( \displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i) =n- \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \card (A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k})$.
Ce sont les nombres $0, p,2p,3p, \cdots, kp$ avec $ k p \leq n$ donc $k \leq \dfrac{n}{p}$
Il y en a $E(\dfrac{n}{p})+1$
Je ne comprends pas pourquoi il faudrait exclure $0$ vu leur définition des $A_i$ :-S
Bon, il serait temps de conclure maintenant, non ?