Parties de l'ensemble vide

OShine
OShine
dans Analyse
Bonsoir
Toujours sur mon MOOC sur la logique le le raisonnement.

Si $E= \emptyset$, déterminer le cardinal de $\mathcal P( \mathcal P (\mathcal P(E))))$

Par des arguments de combinatoire, je sais que la réponse est $4$.
Mais quand je fais la liste je n'en trouve que $3$ :-S
$\mathcal P(\emptyset)= \{ \emptyset \}$
$\mathcal P( \mathcal P(\emptyset))= \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}$
$P( \mathcal P (\mathcal P(E))))= \{ \emptyset, \{ \emptyset \} ,\{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \}$ il n'y a que 3 éléments, où est l'erreur ?

Réponses

  • Foys
    Foys
    Tu as oublié une partie, il suffit de la trouver.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • zeitnot
    zeitnot
    Pour t'aider, avec $E=\{a , b\}$ tu fais $P(E)$.

    Ensuite tu appliques avec $a=\emptyset $ et $b= \{ \emptyset \} $, tu ne devrais ainsi oublier personne.

    Cordialement.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • hunter**
    hunter**
    tu as déjà oublié oublié les accolades pour chacun des :vide et {vide} dans le dernier ensemble , puis ajouter finalement le simple vide sans accolade.
  • OShine
    OShine
    D'accord merci.
    Zeitnot oui très bonne idée.

    Si $E=\{ a;b \}$ alors $P(E)= \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b \}\}$

    Ce qui permet de trouver l'ensemble recherché.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Et donc la réponse à ton exercice, c'est ?
  • OShine
    OShine
    La réponse est $4$.

    Autre méthode si $E= \emptyset$ alors $card \ P(E) =2^0=1$ car l'ensemble vide ne contient aucun élément.

    Donc $card \ P(P(E))=2^1=2$ et enfin $card \ P(P(P(E)))=2^2=4$
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Ben oui mais la partie que tu avais oubliée, c'est ?
  • Amathoué
    Amathoué
    Tu n’as pas répondu à la question d’HT...
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    On est embêté parce que la réponse serait "le deuxième vide" alors ?
  • OShine
    OShine
    La partie que j'ai oubliée c'est $\{ \{ \emptyset \} \}$
  • OShine
    OShine
    Finalement le retour aux bases ne fait pas de mal, je ne maitrisais pas totalement ces notions.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Ça fait plaisir à lire !
  • zeitnot
    zeitnot
    De rien OShine. Pour ta réponse (tu).
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Pour ta culture : on construit les entiers naturels avec pratiquement le même bazar.

    On pose $0=\varnothing$, donc $0$ est une boîte vide. Puis "par récurrence" (techniquement on triche un peu, c'est l'axiome de l'infini de ZFC*, mais c'est tout pareil) $n+1 = n \cup \{n\}$.

    Donc $1 = \varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\}$, donc $1$ est une boîte contenant $1$ boîte vide.

    $2 = 1 \cup \{1\} = ... = \{\{\varnothing\}, \{\{\varnothing\}\} \}$, donc $2$ est une boîte contenant $2$ boîtes, la première contenant une boîte vide et la deuxième contenant une boîte qui contient une boîte vide.

    Etc.

    *Pour ceux que ça intéresse : de ce que j'avais lu, autour de la période de la crise des fondements (grosso modo le tournant du 20ème siècle), les matheux de l'époque se demandaient s'il était possible de construire $\N$ (à partir d'autres axiomes, sans déjà présupposer son existence). Il se trouve que ça ne marche pas trop, alors, l'axiome de l'infini est une sorte de "hack" qui stipule en gros que $\N$ existe.
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