Question sur une non-convergence uniforme
Bonjour
Dans le tome 4 du livre de JM Monier (à la page 11), l'auteur indique que la convergence locale uniforme d'une suite de fonctions n'entraîne pas la convergence uniforme ; et il illustre ça avec le contre-exemple suivant. Il considère la suite $(f_n)_n$ définie par $f_n : x \mapsto x^n,$ sur $[0; 1[$.
Alors, je comprends que cette suite de fonctions soit convergente localement uniformément sur $[0; 1[$, mais je ne comprends pas pourquoi elle n'est pas uniformément convergente sur ce même intervalle. A priori $f_n (x) \rightarrow 0$ sur $[0; 1[$ lorsque $n \rightarrow \infty$, et je ne vois pas où est le problème pour la non-convergence uniforme. Sur $[0; 1]$, d'accord, il y aurait un problème de continuité en $1$, mais sur $[0; 1[$, je ne vois pas.
Quelqu'un peut-il m'expliquer ?
Dans le tome 4 du livre de JM Monier (à la page 11), l'auteur indique que la convergence locale uniforme d'une suite de fonctions n'entraîne pas la convergence uniforme ; et il illustre ça avec le contre-exemple suivant. Il considère la suite $(f_n)_n$ définie par $f_n : x \mapsto x^n,$ sur $[0; 1[$.
Alors, je comprends que cette suite de fonctions soit convergente localement uniformément sur $[0; 1[$, mais je ne comprends pas pourquoi elle n'est pas uniformément convergente sur ce même intervalle. A priori $f_n (x) \rightarrow 0$ sur $[0; 1[$ lorsque $n \rightarrow \infty$, et je ne vois pas où est le problème pour la non-convergence uniforme. Sur $[0; 1]$, d'accord, il y aurait un problème de continuité en $1$, mais sur $[0; 1[$, je ne vois pas.
Quelqu'un peut-il m'expliquer ?
Réponses
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Bonjour.
Combien vaut $\sup\limits_{x\in [0,1[} (f_n(x)-0)$ ? Conclusion ?
Cordialement. -
Pour le dire visuellement, chaque fonction monte très rapidement au voisinage de 1 pour atteindre 1. Il suffit d'étudier la différence à la limite.
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Soit $X$ un ensemble, $f:X\to \R$ une fonction, $(f_n)_{n\in \N}$ une suite de fonctions de $X$ dans $\R$.
Il y a équivalence(*) entre:
(i) $(f_n)_{n\in \N}$ converge uniformément vers $f$
(ii) pour toute suite $(x_n)_{n \in \N}$ d'éléments de $X$, $\left | f_n(x_n) - f(x_n)\right | \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
Donc pour l'exo, on peut essayer de chercher une telle suite pour faire capoter la convergence uniforme.
[size=x-small](*)sous AC pour le sens (ii) => (i) mais il est toujours admis à ce niveau, au moins tacitement, de plus seul le sens (i) => (ii) sert ici.[/size]Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Grace à vos réponses, c'est beaucoup plus clair à présent.
Merci à vous.(tu) -
$f_n(1-1/n) = (1 - 1/n)^n $ tend vers $e^{-1}$ quand $n$ tend vers $+\infty .$
-
Pire, si $\ell \in ]0, 1]$, alors $f_n\left(1+\frac{\log \ell}{n}\right)$ converge vers $\ell$ !
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Bonjour!
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