Intégrale généralisée et équivalent
Bonsoir,
on me demande de trouver un équivalent de $I_n =\int_0^1\cos\big(n(at^2+bt^3)\big)dt$ avec $a$ et $b >0$.
Je commence par faire un changement de variable : $u=\sqrt{at^2+bt^3} = f(t)$ puis $v = \sqrt{n}u$. J'obtiens :
$$I_n =\dfrac1{\sqrt{n}} \int_0^{\sqrt{n(a+b)}} \dfrac{\cos(u^2)}{f'\circ f^{-1}(u)} du,
$$ et là je n'arrive pas à utiliser le théorème de convergence donnée : je n'arrive pas à majorer par une fonction intégrable. Quelqu'un peut-il m'aider ?
D'avance merci,
bestM
on me demande de trouver un équivalent de $I_n =\int_0^1\cos\big(n(at^2+bt^3)\big)dt$ avec $a$ et $b >0$.
Je commence par faire un changement de variable : $u=\sqrt{at^2+bt^3} = f(t)$ puis $v = \sqrt{n}u$. J'obtiens :
$$I_n =\dfrac1{\sqrt{n}} \int_0^{\sqrt{n(a+b)}} \dfrac{\cos(u^2)}{f'\circ f^{-1}(u)} du,
$$ et là je n'arrive pas à utiliser le théorème de convergence donnée : je n'arrive pas à majorer par une fonction intégrable. Quelqu'un peut-il m'aider ?
D'avance merci,
bestM
Réponses
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L'énoncé est curieux, il n'y a pas de $n$ dans l'intégrale $I_n$.
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Et, euh, le changement de variable est bijectif au fait ?
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Je viens de corriger le sujet.
Oui pas de problème pour le changement de variable car a>0 et b>0. On a bien une bijection C^1, strictement monotone et bijective.
bestM -
A mon avis il est préférable de commencer par une IPP avant de faire le changement de variable $u=t\sqrt{an}$.
La domination ne pose alors pas de problème. -
Bonjour jandri, j'ai fait une IPP et le changement de variable, mais j'ai encore un problème pour la domination. Ma fonction dominante n'est pas intégrable en 0.
Je dois dominer $\dfrac{2a+\frac{6bx}{\sqrt{na}}}{\left(2ax+\frac{6bx^2}{a\sqrt{n}}\right)^2}\sin\Big(x^2+\dfrac{bx^3}{a\sqrt{an}}\Big)$ sur $\R_+^*$.
D'avance merci,
bestM -
Comme souvent il faut dominer sur $]0,1]$ à l'aide de $|\sin t|\leq t$ et sur $[1,+\infty[$ avec $|\sin t|\leq 1$.
Sur $[1,\sqrt {an}[$ il faut aussi utiliser $x\leq \sqrt {an}$ au numérateur.
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Bonjour!
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