Exemple de norme sur K[X]
Bonsoir,
Soit $P \in \K[X]$. J'ai doute sur l'implication suivante $(\sup_{t \in [0,1]} |P(t)-P'(t)|=0 ) \implies ( \forall t \in [0,1] \ P'(t)-P(t)=0)$.
Ma démonstration est-elle correcte ? Peut-on raisonner sans contraposée ?
S'il existe $y \in [0,1]$ tel que $P'(y)-P(y) \ne 0$ alors $|P'(y)- P(y)| >0$. Mais la borne supérieure est un majorant donc $\sup_{t \in [0,1]} |P(t)-P'(t)| \geq |P'(y)- P(y)| >0$.
Le résultat est démontré par contraposée.
Soit $P \in \K[X]$. J'ai doute sur l'implication suivante $(\sup_{t \in [0,1]} |P(t)-P'(t)|=0 ) \implies ( \forall t \in [0,1] \ P'(t)-P(t)=0)$.
Ma démonstration est-elle correcte ? Peut-on raisonner sans contraposée ?
S'il existe $y \in [0,1]$ tel que $P'(y)-P(y) \ne 0$ alors $|P'(y)- P(y)| >0$. Mais la borne supérieure est un majorant donc $\sup_{t \in [0,1]} |P(t)-P'(t)| \geq |P'(y)- P(y)| >0$.
Le résultat est démontré par contraposée.
Réponses
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Rien que le fait que 0 soit un majorant suffit...
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Je ne comprends pas cet argument.
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Tu fais une vraie usine à gaz qui prouve que tu ne comprends pas ce qu'est un $\sup$. Un sup, c'est le plus petit des majorants, donc c'est un majorant.
Rappel : $x=0$ est équivalent à [$x \leqslant 0$ et $x \geqslant 0$] -
On a plein de nombres, positifs par construction. Et on nous dit qu'aucun de ces nombres n'est strictement positif. Donc ils sont tous nuls.
Et toi, tu as un doute sur ce résultat ?
Soit tu penses que ton bouquin est à peu près bien fait, et dans ce cas, quand tu as des doutes, l'hypothèse la plus probable, c'est que TU te trompes.
Soit tu penses que ton bouquin contient un peu trop d'erreurs, et dans ce cas, il faut le jeter.
Ici, le bouquin ne détaille pas l'implication, parce que c'est une évidence.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Si je ne comprends ce qu'est un sup je peux jeter mes livres et arrêter les maths définitivement.
Oui si le sup est nul alors comme $\forall t \in [0,1] \ |P'(t)-P(t)| \leq \sup =0$ alors on a l'égalité.
Je me suis compliqué la vie pour rien. -
Tu ne mentionnes jamais les livres que tu utilises, donc on ne peut pas trop dire s'ils sont bons ou pas.
En tout cas, oui, tu vois bien que ce n'était pas compliqué. Il faut juste que tu comprennes que même si christophe c adore les quantificateurs, il ne faut pas se jeter dessus tête baissée sans regarder sur quoi on travaille. Un sup de trucs positifs qui est nul, c'est trivial sans quantificateurs, même sans réfléchir.
C'est juste après ça qu'il faut réfléchir : un polynôme, égal à sa propre dérivée sur tout un intervalle ? Est-ce que ça t'inspire une réflexion ? -
Oui si $P \in \K[X]$ tel que $P(t)-P'(t)=0$ pour tout $t \in [0,1]$.
Alors $P =P'$ (infinité de racines)
Par l'absurde, si $P \ne 0$ alors on peut poser $\deg P =n \in \N$ (le seul le polynôme nul a un degré égal à moins l'infini)
Et comme $\deg P' = n-1=n$ don en déduit $0=-1$ ce qui est absurde.
Donc $P=0$ -
Bonsoir.
Pourquoi seul le polynôme nul a un degré égal à $-\infty$ ?
Et pourquoi cette valeur d'ailleurs ?
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
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C'est une convention qui permet d'utiliser la relation $\deg (PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$
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Convention ?
C'est donc la même chose que $0^0=1$ ?
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Je ne sais pas je l'ai appris ainsi.
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D'accord, je n'insiste pas plus.
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Dreamer : pour être rigoureux, le degré du polynôme nul n'est pas particulièrement défini. Cependant, c'est commode de dire qu'il a un degré $-\infty$ si on introduit des règles de calcul spécifiques pour le degré qui font que ça ne déconne pas avec $-\infty$.
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Merci pour la précision.
Mon but était de savoir si Oshine s'était posé ces questions.
C'est pour cela que je n'ai pas trop insisté, ne voulant pas détruire un concept opérationnel alors que cela marche bien.
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@Dreamer : en fait, tu as bien fait de poser la question. Oshine avait l'argument (validité de la formule $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$) mais ensuite il se dégonfle et ne va pas au bout de la réflexion ("je l'ai appris ainsi"), histoire de dire "arrête de m'embêter, c'est comme ça et pis c'est tout").
Si on prend $Q=0$ dans cette formule en effet, on voit que si on demande à $\deg(Q)$ d'être fini, on a $\deg(P)=0$ ce qui n'a pas de raison d'être vrai si $P$ est quelconque d'où le choix de cette convention infini. Et puis MOINS l'infini parce que le degré doit être plus petit que le degré des constantes non nulles qui est $0$.
Ça met juste en évidence qu'encore une fois, c'est une convention mais qui a une raison d'être, pas juste une convention stupide qu'il faut apprendre par cœur ce que fait OS.
Pour rappel, $0^0$ est par définition la limite de $x\mapsto x^x$ (qu'on peut calculer avec des croissances comparées...) donc ok c'est une convention, mais qui permet d'avoir cette fonction continue sur $\mathbb{R}_+$ donc pas juste une convention stupide fondée sur rien. -
$0^0$ est aussi le cardinal de l'ensemble des applications de $\varnothing$ dans $\varnothing$. La plupart de ces objets avec des $0$ et des $\varnothing$ ont plusieurs définitions cohérentes entre elles, heureusement.
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Pour Oshine : les explications du message d'Alexique sont à sauvegarder (par écrit dans une sorte de carnet de notes) et à méditer régulièrement.
C'est juste une proposition.
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Pas compris le $0^0$ limite de $x \mapsto x^x$.
Pour le cardinal de l'ensemble des applications de $\emptyset$ dans $\emptyset$ je suis d'accord.
L'ensemble des applications de $E$ dans $F$ a pour cardinal $card(F)^{card (E)}$ et $card (\emptyset)=0$ -
A mon avis plus que la limite de x^x en 0 c'est quand même pratique comme convention quand on écrit un polynome sous la forme $\sum a_k x^k$
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Ben, $x^x = e^{x\ln(x)}$ par définition, du coup, a priori en $0$ ce n'est pas défini à cause du logarithme. Mais on peut appliquer le théorème des croissances comparées : $\displaystyle \lim_{x \to 0}x\ln(x) = 0$ donc par composition avec $\exp$, $\displaystyle \lim_{x \to 0}x^x = 1$. Donc on étend la définition par continuité, d'où $0^0=1$.
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Comme je disais, l'intérêt c'est que les définitions se recoupent. S'il fallait définir $0^0=1$ dans un contexte et $0^0=$ autre chose ailleurs, là ça poserait un problème.
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D'accord merci.
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