Puisque l'on a le droit d'inverser l'intégrale et la somme, le problème revient à calculer l'intégrale
$$\int_{0}^{a}(-1)^{\lfloor 2^n x\rfloor}dx,
$$ suivant le $n$.
* Si $\lfloor a 2^n \rfloor$ est pair, $\sum_{k=0}^{\lfloor a 2^n \rfloor- 1} (-1)^{k} = 0$ et $$I_n = a - \frac{\lfloor a 2^n \rfloor}{2^n}.
$$ * Si $\lfloor a 2^n \rfloor$ est impair, $\sum_{k=0}^{\lfloor a 2^n \rfloor- 1} (-1)^{k} = 1$ et $$I_n = \frac{1}{2^n} - a + \frac{\lfloor a 2^n \rfloor}{2^n}.$$
La fonction transforme les 0 et 1 du développement dyadique en 1 et -1 respectivement.
En notant g la fonction qui à un nombre associe son "complément à 1 dyadique", je veux dire par là qui échange les 0 et 1 du développement dyadique, on a que x + g(x) est égal à 0,11111...
Autrement dit égal à 1. Puisqu'il est clair que f(x) = -x + g(x), on a donc f(x) = 1 - 2x.
Réponses
$$\int_{0}^{a}(-1)^{\lfloor 2^n x\rfloor}dx,
$$ suivant le $n$.
Soit $p$ le plus petit entier naturel tel que $1/2^p \leq a$.
Après calcul je trouve a(1-a).
$$ Posons $t=2^nx$.
\begin{align}
I_n &= \frac{1}{2^n} \int_{0}^{a2^n}(-1)^{\lfloor t \rfloor}dt\\
&= \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\lfloor a 2^n \rfloor- 1} \int_{k}^{k+1}(-1)^{\lfloor t \rfloor}dt + \frac{1}{2^n} \int_{\lfloor a 2^n \rfloor}^{a2^n}(-1)^{\lfloor t \rfloor}dt \\
&= \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\lfloor a 2^n \rfloor- 1} (-1)^{k} + \frac{ (-1)^{\lfloor a 2^n \rfloor} }{2^n} \left( a 2^n - \lfloor a 2^n \rfloor \right) .
\end{align} Pour $a=1/2$, $\ I_n = 0$.
$$ * Si $\lfloor a 2^n \rfloor$ est impair, $\sum_{k=0}^{\lfloor a 2^n \rfloor- 1} (-1)^{k} = 1$ et $$I_n = \frac{1}{2^n} - a + \frac{\lfloor a 2^n \rfloor}{2^n}.$$
On peut directement calculer $\ \displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{\lfloor 2^n x\rfloor}}{2^n},\ $ pour $0\leq x <1.$
Indication : utiliser la décomposition de $x$ en base $2$, $\ f(x)$ est de la forme $mx+p$.
La fonction transforme les 0 et 1 du développement dyadique en 1 et -1 respectivement.
En notant g la fonction qui à un nombre associe son "complément à 1 dyadique", je veux dire par là qui échange les 0 et 1 du développement dyadique, on a que x + g(x) est égal à 0,11111...
Autrement dit égal à 1. Puisqu'il est clair que f(x) = -x + g(x), on a donc f(x) = 1 - 2x.