Norme du gradient et lignes de champ
dans Analyse
Bonjour,
je bute sur un exo qui m'a fait me poser quelques questions.
On considère un espace vectoriel normé E de dimension finie et une application f différentiable de E dans R.
On veut montrer que pour tout r réel strictement positif, en notant M_r un majorant de |f| sur la sphère de centre 0 et de rayon r, on dispose de x dans B(0,r) tel que la norme du gradient de f en x soit inférieure en module à M_r / r.
Je me disais qu'en procédant par l'absurde, en supposant que la norme du gradient est toujours plus grande que M_r/r, si on peut relier deux points de la sphère par un chemin de classe C1 de longueur supérieure ou égale à 2r tel que la dérivée de gamma en t est toujours égale au gradient de f en gamma(t) (une ligne de champ en quelque sorte), on pourra alors conclure. Néanmoins, a prori, rien n'assure qu'une ligne de champ aurait une telle longueur et surtout, je n'arrive pas à voir si il existe forcément de telles lignes de champ (pour situer mon niveau, je suis en fin de prépa).
Si quelqu'un a des idées pour mon exo ou pour le cas des lignes de champ (qui doit être du cours, mais de niveau L3 j'imagine), je suis preneur !
Merci.
je bute sur un exo qui m'a fait me poser quelques questions.
On considère un espace vectoriel normé E de dimension finie et une application f différentiable de E dans R.
On veut montrer que pour tout r réel strictement positif, en notant M_r un majorant de |f| sur la sphère de centre 0 et de rayon r, on dispose de x dans B(0,r) tel que la norme du gradient de f en x soit inférieure en module à M_r / r.
Je me disais qu'en procédant par l'absurde, en supposant que la norme du gradient est toujours plus grande que M_r/r, si on peut relier deux points de la sphère par un chemin de classe C1 de longueur supérieure ou égale à 2r tel que la dérivée de gamma en t est toujours égale au gradient de f en gamma(t) (une ligne de champ en quelque sorte), on pourra alors conclure. Néanmoins, a prori, rien n'assure qu'une ligne de champ aurait une telle longueur et surtout, je n'arrive pas à voir si il existe forcément de telles lignes de champ (pour situer mon niveau, je suis en fin de prépa).
Si quelqu'un a des idées pour mon exo ou pour le cas des lignes de champ (qui doit être du cours, mais de niveau L3 j'imagine), je suis preneur !
Merci.
Réponses
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Connais-tu les accroissement finis ?
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Bonjour,
Je crois que pour avoir un gradient, il vaut mieux avoir un produit scalaire, pas juste une norme. -
Pour Riemann-lapins-crétins:
Oui, je l'ai déjà entre-aperçu (celui des fonctions continues et différentiables de E dans R), mais je ne vois pas ce qu'il m'apporte de plus qu'écrire f(y)-f(x) sous forme intégrale avec le gradient (ce que je voulais utiliser pour effectuer une minoration le long de ma ligne de champ de longueur supérieure à 2r et qui m'aurait permis de conclure).
Pour marsup:
c'est bien vrai, l'ami qui m'a donné l'exercice (qu'il n'avait pas fini) ne m'a pas précisé si la norme en question était issue d'un produit scalaire, mais on va partir de ce principe et on verra dans un cadre plus général plus tard.
J'y réfléchis toujours mais je bloque toujours autant. -
Dans les faits, le seul cas qui nous intéresse est celui où il n'y a pas d'extremum dans la boule ouverte et qu'ils sont situés uniquement sur la frontière, puisque l'autre est immédiat, mais je ne vois pas comment caractériser le fait que tous les extrema soient sur la frontière pour en tirer quelque chose d'utile.
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La géométrie différentielle a donc si peu la côte sur le forum ?
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Bonjour,
Supposons que $f$ est suffisamment régulière pour pouvoir parler de lignes de champs convenablement (cf. les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz ; c'est peut-être ${\cal C}^1$ qui convient). On peut supposer que le module du gradient de $f$ est partout minoré par $\frac{M_r}{2r}$. Alors, sauf erreur, on peut montrer que la ligne de champ qui passe par le centre de la boule $B(0,r)$ est de longueur au moins $2r$. L'idée c'est que des deux côtés elle rejoint le bord de la boule, qui est à une distance $r$. Ou bien, si elle ne touche pas le bord, elle a une longueur infinie dans la boule ouverte (je zappe certains détails ; j'utilise le lemme de sortie des compacts et la minoration du gradient de $f$). -
Ah oui, pas bête l'idée de s'intéresser particulièrement à la ligne de champ passant par le centre pour s'enlever le problème de la longueur minimale de 2r.
Je vais m'informer sur les flots et courbes intégrales pour pouvoir construire la preuve proprement, merci en tout cas!
Pour info, cet exo était censé être faisable sans Cauchy-Lipschitz (pas au programme de prépa), et a priori (même si mon pote peut se tromper) sans hypothèse de régularité particulière du gradient, donc si vous avez des idées pour le démontrer par une autre manière, ça resterait très intéressant, sachant qu'un point de départ est l'introduction de la fonction g: x -> ||f(x)||^2/M_r^2 - ||x||^2/r^2 d'après ce que lui avait dit l'examinateur. -
Par la norme de f(x), tu veux parler de sa valeur absolue ? (C'est un réel.) Ou bien c'est la norme du gradient ?
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Oui je voulais parler de sa valeur absolue, je fais souvent ce lapsus.
Cela t'inspire? -
Pour parler de gradient sur un espace vectoriel (j'exclus le cas des variétés), on a besoin d'un espace de Hilbert (c'est-à-dire que la norme soit issue d'un produit scalaire et que l'e.v.n. soit complet). En effet, par définition, le gradient de $f:U\subset E \to \R$ en $a\in U$ est l'unique vecteur $v$ qui représente la forme linéaire $Df(a)$, ce qui nécessite le cadre du théorème de représentation de Riesz. Au passage, même dans $\R^n$, le simple fait de changer de produit scalaire va changer l'expression du gradient.
Pour ta question, je me suis demandé s'il n'y aurait pas une approche complètement différente, via les extrema liés (car comme tu l'as fait remarquer, le seul cas à étudier est la situation sans point critique à l'intérieur), mais je n'ai rien trouvé ; je me demande si l'indication ne relance pas cela, car étudier les points critiques de $g$ consiste à faire des extrema liés mais avec un multiplicateur de Lagrange déjà donné ...
EDIT : merci à Math Coss pour m'avoir signalé une faute de conjugaison, corrigée ici -
Avec l'indication donnée par l'examinateur on a une solution dans le cas où $f(0)\neq 0$ :
Soit $S_r$ la sphère de rayon $r$ centrée en $0$, on considère $g: x \mapsto \dfrac{f(x)^2}{M_r^2} - \dfrac{\|x\|^2}{r^2}$.
On vérifie facilement que pour tout $x\in S_r$, $g(x)\leq 0$.
Or $g(0)=\dfrac{f(0)^2}{M_r^2}\geq 0$. Par conséquent $g$ possède un max global dans la boule ouverte de rayon $r$ centrée en $0$. Notons $x_0$ ce max global.
On a évidemment $\nabla g(x_0)=0$ (où $\nabla g(x_0)$ est le gradient de $g$ en $x_0$), c'est-à-dire $\dfrac{f(x_0)\nabla f(x_0)}{M_r^2} = \dfrac{x_0}{r^2}$ et donc $\|\nabla f(x_0)\|=\dfrac{M_r}{r}\cdot \dfrac{M\|x_0\|}{r|f(x_0)|}$. Ici on suppose $f(0)\neq 0$ ce qui entraîne $0<g(0)$ et donc $f(x_0)\neq 0$ car $g(0)\leq g(x_0)$.
Or $g(0)\leq g(x_0)$ donc $\dfrac{f(0)^2}{M_r^2}\leq \dfrac{f(x_0)^2}{M_r^2}-\dfrac{\|x_0\|^2}{r^2}$
et en multipliant par $\dfrac{M_r^2}{f(x_0)^2}$ des deux côtés de l'inégalité on obtient :$\dfrac{f(0)^2}{f(x_0)^2}\leq 1-\dfrac{M_r^2\|x_0\|^2}{r^2 f(x_0)^2}$.
Donc $\dfrac{M_r^2\|x_0\|^2}{r^2 f(x_0)^2}\leq 1$.
Étant donné que $\|\nabla f(x_0)\|=\dfrac{M_r}{r}\cdot \dfrac{M_r\|x_0\|}{r|f(x_0)|}$ on en déduit que $\|\nabla f(x_0)\|\leq\dfrac{M_r}{r}$
PS. à voir s'il y a des erreurs vu l'heure tardive... -
Merci pour vos réponses,
Pour math2:
Tu faisais écho au message où je disais qu'après avoir vu le cas où la norme était euclidienne, on pourrait voir dans le cas ou elle ne le serait pas forcément? Si c'est cela, j'avoue qu'en y ayant un peu réfléchit derrière, le deuxième cas me paraît mal avancé, puisqu'à part le fait que les normes seraient équivalentes, on n'aurait pas de lien direct entre cette norme et le gradient, donc my bad.
Pour les extrema liés, je ne connais pas encore donc je laisse cela aux personnes compétentes ;-).
Pour raoul.S:
Malgré l'heure tardive de publication, ça m'a l'air tout bon !
Pour résoudre le cas où f(0)=0 j'ai deux idées:
1. pour tout n dans N*, on écrit g_n = f + 1/n et alors par ta méthode et par inégalité triangulaire on dispose pour tout n de x_n tel que ||gradient_f(x_n)||<= M_r + 1/n. Si la fonction est de classe C1, c'est alors gagné (avec extraction d'une suite et utilisation de la continuité du gradient). Cela dit, on rajoute des hypothèses (apparemment) inutiles donc il doit y avoir mieux.
2. Dans le cas où f n'atteint pas à la fois -M_r/r et +M_r/r sur Sr, on peut trouver epsilon tel que le max de |f + epsilon| soit strictement plus petit que M_r/r et alors ta méthode permet de conclure directement. Sinon, on a une info en plus, à savoir que -M_r/r et +M_r/r sont atteintes sur la sphère, même si je ne l'ai pas l'impression que ça nous avance plus que ça, à part nous confirmer que l'on est dans un cas chiant (possible cas d'égalité en suivant la méthode de Calli).
Sinon, je ne vois pas trop je t'avouerais, je n'arrive pas à modifier ton raisonnement pour le rendre valable avec f(0) = 0 (en posant un nouveau g légèrement différent par exemple). -
Quitte à regarder $ \tilde f:x\mapsto \frac1{M_r}f(rx)$, on peut supposer que $r=M_r=1$. Donc la fonction auxiliaire devient $g: x\mapsto f(x)^2-\|x\|^2$. Notons $B=B(0,1)$.
1) Supposons que $g\leqslant0 $ sur $B$. Alors $\forall x\in B, |f(x)|\leqslant \|x\|$. Donc $f(0)=0$ et $$\|\nabla f(0)\| ^2= {\rm d}f_0(\nabla f(0))= \lim_{h\to0^+} \frac{f(h\nabla f(0))-f(0)}h\leqslant \lim_{h\to0^+} \frac{\|h\nabla f(0)\|}h =\|\nabla f(0)\|.$$ Donc $\|\nabla f(0)\| \leqslant 1$ et c'est gagné.
2) Sinon, $\sup_B g>0$. Soit $x_0\in\overline B$ tel que $g(x_0)=\max_{\overline B} g$. Comme $g\leqslant 0$ sur $\partial B$, on a $x_0\in B$. Donc $\nabla g(x_0)=0$, i.e. $f(x_0)\nabla f(x_0)=x_0$. Or $g(x_0)>0$ implique que $|f(x_0)|>\|x_0\|$, donc $\|
\nabla f(x_0)\|<1$. C'est gagné.
[small]PS: Écrit dans une église. Si ça se trouve, ça aide, même quand on n'est pas croyant. :-D Parce que hier, chez moi, j'avais pas trouvé. [/small] -
Ah voilà c'est le point 1) qui me manquait, il fallait penser à l'égalité $\|\nabla f(0)\| ^2= {\rm d}f_0(\nabla f(0))$... aucune chance.
C'est le prêche du prêtre qui t'a inspiré Calli ? B-)- -
Non, l'égalité $\|\nabla f(0)\| ^2= {\rm d}f_0(\nabla f(0))$ n'est qu'une astuce pour gagner du temps. L'idée c'est que, si $\forall x\in B, |f(x)|\leqslant \|x\|$, alors $\forall x, |{\rm d}f_0(x)|\leqslant \|x\|$ (*). Donc la norme d'opérateur $|||{\rm d}f_0|||$ est inférieure à 1. Or $|||{\rm d}f_0|||= \|\nabla f(0)\| $.
(*) Preuve de ce fait : $\forall x\in B,\forall h>0,$ $$
\begin{eqnarray*}
|{\rm d}f_0(x)|& =& \frac1h |{\rm d}f_0(hx)| \\
&\underset{h\to0^+}= & \frac1h | f(hx)-f(0)+o(h)| \\
&\leqslant& \frac1h(|f(hx)|+o(h))\\
&\leqslant &\frac1h(\|hx\|+o(h))\\
&=&\|x\|+o(1).
\end{eqnarray*}$$
[small]PS: Non, il n'y avait pas de messe. :-D Mais ils passaient de la musique classique sacrée. :-)[/small] -
Oui c'est mieux sans la petite astuce (tu)
[small]PS: beurk... :-)[/small] -
Bien joué Calli!
Bon réflexe de se ramener à un cas un peu plus simple où on voit mieux ce qui se passe,
merci en tout cas ;-)
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