Calcul d'intégrale
Bonjour
J'ai un calcul d'intégrale à faire mais ça fait longtemps que je n'en ai pas fait.
$a$ est un nombre réel. Voici le calcul que j'ai fait.
$\displaystyle \int_{-e}^{-1} a/x dx = a [\ln(x)]_{-e}^{-1}$
Et je pense qu'il y a une erreur dans ce calcul. Est-ce que vous pourriez m'aider à corriger mon erreur ?
Merci d'avance.
J'ai un calcul d'intégrale à faire mais ça fait longtemps que je n'en ai pas fait.
$a$ est un nombre réel. Voici le calcul que j'ai fait.
$\displaystyle \int_{-e}^{-1} a/x dx = a [\ln(x)]_{-e}^{-1}$
Et je pense qu'il y a une erreur dans ce calcul. Est-ce que vous pourriez m'aider à corriger mon erreur ?
Merci d'avance.
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Réponses
Si tu entres "integral of $f(x)$ from $a$ to $b$" dans la barre de recherche, il te calculera $\displaystyle \int_a^b f(t)dt$. C'est utile pour voir si on raconte des bêtises !
Pour le changement de variable, c'est tout bête : tu veux calculer $\displaystyle \int_{-e}^{-1} \dfrac{a}{x}dx$. Par linéarité, on a $\displaystyle \int_{-e}^{-1} \dfrac{a}{x}dx = a\int_{-e}^{-1} \dfrac{1}{x}dx$.
$\dfrac{1}{x}$, c'est une fonction que je connais, je sais que la* primitive est $\ln$ mais $\ln$ n'est pas définie sur l'intervalle $[-e,-1]$ : du coup, écrire $\bigg[ \ln(x)\bigg]_{-e}^{-1}$, c'est n'importe quoi : $\ln(-e)-\ln(-1)$, ça ne veut pas dire grand-chose.
Je connais l'allure du graphe de $\dfrac{1}{x}$ : je sais que c'est une fonction impaire (pour rappel : c'est-à-dire telle que $f(-x)=-f(x)$), donc avec cette information-là, je peux me ramener à une intégrale sur le segment $[1,e]$. A ce stade-là, il est utile de faire un dessin : représenter $\dfrac{1}{x}$, l'aire sous la courbe pour $x \in [-e,-1]$, l'aire sous la courbe pour $x \in [1,e]$ : on voit bien que les deux aires sont les mêmes (au signe près, forcément). Comment je passe de $[-e,-1]$ à $[1,e]$ ? Tout bêtement en multipliant par $-1$. Alors allons-y, on multiplie la variable par $-1$ : on pose $y=-x$.
Je te laisse vérifier qu'avec ce changement-là, on trouve bien $\displaystyle \int_{-e}^{-1} \dfrac{1}{x}dx = -\int_1^e \dfrac{1}{y}dy$. Après, $\displaystyle \int_1^e \dfrac{1}{y}dy$, on la calcule avec le logarithme, bien sûr.
*les autres membres du forum : oui, je sais.
Trouve les primitives sur $\mathbb R^{*-}$ déjà.
Cordialement.
NB : la question de L2M est un piège classique.
La question est directe. Une des primitives de $x\mapsto 1/x$ sur $\mathbb R^*$ est $x\mapsto ln|x|$.
On peut écrire alors
$\displaystyle \int_{-e}^{-1} a/x dx = a [\ln|x|]_{-e}^{-1} = ...$
* Si les bornes sont dans $\mathbb R^{-*}$ tu prends $x\mapsto \ln |x| $ ou $\ln (-x)$ comme primitive de $x\mapsto 1/x$.
* En général. Les primitives de $x\mapsto 1/x$ sur $\mathbb R^{*}$ sont $x\mapsto \ln |x| + c$ telle que $c$ est une constante dans $\mathbb R$.
$f(x) = \ln(-x)+ C_1$ sur $\mathbb R^{*-}$
$f(x) = \ln(x)+ C_2$ sur $\mathbb R^{*+}$
Mais on a rarement besoin d'une primitive ailleurs que sur un seul intervalle.
Cordialement.
C'est quoi l'erreur mathématique dans cette phrase :
Ok, Je suis tout à fait d'accord.
c'est d'ailleurs pourquoi je n'ai rien dit sur ce message.
Cordialement.