Une solution non extensible est dite saturée

evariste21
evariste21
dans Analyse
Bonjour

Si la fonction continue $f: \mathbf{R}\times [0,+\infty[ \to \mathbf{R}$ est localement [large]L[/large]ipschitz sur la seconde variable et satisfait l'inégalité
$$\forall (t,x)\in \mathbf{R}\times [0,+\infty[, \quad |f(t,x)|\leqslant g(x),$$ où $g: [0,+\infty[ \to ]0,+\infty[$ satisfait $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{g(r)}dr<+\infty$ alors, pour tout $(a,b)\in \mathbf{R}\times ]0,+\infty[$ la solution saturée du problème de Cauchy $$x'=f(t,x), \quad x(a)=b$$ est définie pour tout $t\in [a,+\infty[$.
Merci
Obs. Une solution non extensible est dite saturée.

[Rudolf Lipschitz (1832-1903) prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • evariste21
    evariste21
    Je pense que nous pouvons montrer que toutes les solutions sont bornées.
  • marsup
    marsup
    Bonjour,

    Si $f(t,x)=g(x) = e^x$, alors pour $x' = e^x$ on a $$e^{-x} - e^{-b} = -(t-a).$$

    Donc la solution n'est définie que tant que $t<a+e^{-b}.$
  • evariste21
    evariste21
    Salut, je ne comprends pas. S'agit-il vraiment d'un contre-exemple ?
  • marsup
    marsup
    Salut,

    Bah oui, il me semble.

    En fait, il n'y avait pas de question dans tes messages initiaux.

    De toute façon, la convergence $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{g(r)}dr<+\infty$ oblige que $\dot x = g(x)$ explose en temps fini pour $x_0 > 0$, il me semble.
  • evariste21
    evariste21
    La question était de prouver le résultat, j'ai oublié cette partie. Je suis désolé pour ça.

    Je connais le résultat suivant, je pensais pouvoir l'utiliser si je montrais que les solutions de notre problème sont bornées.

    Théorème. Soit le système d'équations différentielles $$x'=f(t,x), \quad (*)$$ où $f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbf{R}^{n}$ est continue et localement Lipschitz sur le sous-ensemble ouvert $\Omega$. Si $\varphi(t)$ est une solution roite - saturée (une solution qui n'est pas extensible à droite) de $(*)$ défine sur $[0,\theta[. Dans ce cas, seules les deux options suivantes sont possibles
    1. ou bien $\theta=+\infty$,
    2. ou bien $\theta<+\infty$ et $\lim_{t\nearrow \theta}||\varphi(t)||=\infty$.
    Utilisant l'inégalité
    \begin{eqnarray*}
    \int_{x(a)}^{x(t)}\frac{1}{g(\tau)}d\tau \leqslant \left| \int_{x(a)}^{x(t)}\frac{1}{g(\tau)}d\tau \right| \overset{\tau=x(s)}{=} \left| \int_{x(a)}^{x(t)}\frac{x'(s)}{g(x(s))}ds\right|=\left| \int_{a}^{t}\frac{f(s,x(s))}{g(x(s))}ds\right|\leqslant \int_{a}^{t}\frac{|f(s,x(s))|}{g(x(s))}ds\leqslant \int_{a}^{t}tds\leqslant |t-a|

    \end{eqnarray*} Par conséquent,
    $$
    \int_{x(a)}^{x(t)}\frac{1}{g(\tau)}d\tau \leqslant |t-a|.

    $$ Puis-je avancer à partir de ce point ?
  • evariste21
    evariste21
    Je ne sais pas si cela aide, je ne vois pas comment conclure que x est encore borné. Mais je pense que ça peut marcher.

    Soit $\displaystyle \Phi(x):=\int_{b}^{x}\frac{d\tau}{g(\tau)}$, ensuite
    • $\Phi$ est continue et monotone sur $]x_{1},x_{2}[\in [0,+\infty[$.
    • $\Phi^{-1}$ est continue et monotone sur $[0,+\infty[$.
    • $ \displaystyle \lim_{t\to +\infty}x(t)<+\infty$, ensuite $\Phi$ est une fonction bornée sur $[0,+\infty[$.
    • $\forall t\in \mathbf{R}: \quad \Phi(x)\leqslant |t-a| \implies x(t)\leqslant \Phi^{-1}(|t-a|), \quad \Phi^{-1}: [0,+\infty[ \to \mathbf{R}$.
  • evariste21
    evariste21
    Je pense qu'on peut conclure que $\lim_{t\to +\infty} |x(t)|<\infty$, donc toutes les solutions sont bornées et $x$ est définie pour tout $t\in [t_{0},+\infty[$.
  • math2
    math2
    L'hypothèse classique est avec une intégrale égale à $+\infty$.

    Sinon il y a plein de contre-exemples montrant que le résultat est faux.

    Le premier (sans doute) que l'on rencontre est le cas de $x'=x^2$ (ici $f(t,x)=g(x)=x^2$) pour lequel l'intégrale de $1$ à l'infini diverge et dont la seule solution maximale qui est bornée est la solution nulle.

    Si tu veux absolument commencer ton intégrale à $0$ (ce qui est sans intérêt), prends $x'=x^2+1$ dont les solutions sont les fonctions du type $t\mapsto \tan(t+C)$, aucune n'est définie jusqu'à $+\infty$.

    Si l'intégrale est infinie, ta fonction $\Phi$ va avoir la limite $+\infty$ en $+\infty$ ce qui permet de parler de $\Phi^{-1}$ sur un intervalle non borné à droite (sinon tu serais embêté). Après, supposant que $x$ n'est pas définie jusqu'à $+\infty$, avec ta fonction $\Phi$ on parvient à montrer que $x$ est bornée au voisinage de la borne supérieure de l'intervalle de définition, et donc par l'équation $x'$ aussi, ce qui permet d'avoir une limite finie (tu auras un prolongement par continuité uniforme) ce qui contredit la maximalité de ta solution car tu pourrais appliquer Cauchy-Lipschitz en ce point.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 33

HéhéhéJLTSnegbisamfm_31manuparisse +26 Invités