Partie fermée

Bonsoir
Je cherche cet exercice tout seul sans regarder le corrigé du livre. J'ai un petit doute au début, pour le reste mon raisonnement est-il correct ?

On se place dans $\R$. Pour $n \in \N^{*}$ on note $F_n=[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]$
Déterminer l'ensemble $\displaystyle\bigcup_{n \in \N^{*}} F_n$. Cet ensemble est-il fermé ?

J'ai commencé par regarder les cas $n=1$ et $n=2$, mais le cas $n=1$ me dérange, c'est quoi l'intervalle $[1,0]$ :-S
$F_2= \{\frac{1}{2} \}$ , $F_3=[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$
Lorsque $n$ tend vers plus l'infini $F_n$ tend vers l'intervalle $[0,1]$ il me semble donc que la réponse soit $]0,1[$...
Si $x \in \displaystyle\bigcup_{n \in \N^{*}} F_n$ alors il existe $n \in \N^{*}$ tel que $0<1/n \leq x \leq 1-1/n<1$ . On a montré $\boxed{\displaystyle\bigcup_{n \in \N^{*}} F_n \subset ]0,1[}$
Réciproquement, soit $y \in ]0,1[$. Déterminons $n \in \N^{*}$ tel que $1/n \leq y \leq 1- 1/n$
Il faut donc $n \geq 1/y$ et $n \geq 1/(1-y)$
On choisit $n$ le plus petit entier tel que $n \geq \max ( \dfrac{1}{y},\dfrac{1}{1-y} )$.
On a montré $\boxed{\displaystyle\bigcup_{n \in \N^{*}} F_n \supset ]0,1[}$.