Une fonction et sa transformée de Fourier
Bonjour. Je serais très reconnaissant si quelqu'un pouvait m'aider à faire ceci.
J'ai le résultat suivant.
Si $f\in L^1(\Bbb R)$ et $\int_{\Bbb R}\int_{\Bbb R} |f(x)||\hat f(y)| e^{|x||y|} dxdy<\infty$, alors $f=0$
(avec $\hat{f}$ et la transformée de Fourier de $f$).
D'après le résultat cité en haut je veux montrer ceci.
Supposons que $ab>\frac{1}{4}$. Si $f(x)=O(e^{-ax^2})$ et $\hat{f}(y)=O(e^{-by^2})$, alors $f=0$.
Comment je puis faire et merci.
Notez que $\hat{f}(e^{-ax^2})(y)=e^{-\frac{1}{4a}y^2}$.
J'ai le résultat suivant.
Si $f\in L^1(\Bbb R)$ et $\int_{\Bbb R}\int_{\Bbb R} |f(x)||\hat f(y)| e^{|x||y|} dxdy<\infty$, alors $f=0$
(avec $\hat{f}$ et la transformée de Fourier de $f$).
D'après le résultat cité en haut je veux montrer ceci.
Supposons que $ab>\frac{1}{4}$. Si $f(x)=O(e^{-ax^2})$ et $\hat{f}(y)=O(e^{-by^2})$, alors $f=0$.
Comment je puis faire et merci.
Notez que $\hat{f}(e^{-ax^2})(y)=e^{-\frac{1}{4a}y^2}$.
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Réponses
Mais $\int_{\Bbb R}\int_{\Bbb R}e^{-ax^2-\frac{1}{4a}y^2+|x||y|}=+\infty$.
Si $\int_{\Bbb R}\int_{\Bbb R}e^{-ax^2-\frac{1}{4a}y^2+|x||y|}<+\infty$ alors le résultat est immédiat.
Non, c'est ${\cal F}(e^{-ax^2})(y)=e^{-\frac{1}{4a}y^2}$ où $\cal F$ désigne l'opérateur transformée de Fourier. $\hat f$ ça désigne une fonction, pas l'opérateur transformée de Fourier. C'est $\hat f = {\cal F}(f)$.
Et une pensée horrible m'a traversée. Est-ce que tu as dit que $f(x)=O(e^{-ax^2})\Rightarrow \hat f(y) = O({\cal F}(e^{-ax^2})(y))= O( e^{-\frac{1}{4a}y^2})$ ? Parce que cette implication est fausse.
juste une notation je designe par $\hat{f}$ la transformée de Fourier de $f$, que tu as notée par ${\cal F}(e^{-ax^2})(y)=e^{-\frac{1}{4a}y^2}$.
J'ai le résultat suivant.
Si $f\in L^1(\Bbb R)$ et $\int_{\Bbb R}\int_{\Bbb R} |f(x)||\hat f(y)| e^ {|x||y|} dxdy<\infty$, alors $f=0$,
et je vais l'utiliser pour montrer que
$\int_{\Bbb R}\int_{\Bbb R}e^{-ax^2-\frac{1}{4a}y^2+|x||y|}=+\infty$.
En effet, je note par $f(x)=e^{-ax^2}$ donc $\hat{f}(y)=e^{-\frac{1}{4a}y^2}$ donc
$\int_{\Bbb R}\int_{\Bbb R}e^{-ax^2-\frac{1}{4a}y^2+|x||y|}=\int_{\Bbb R}\int_{\Bbb R} |f(x)||\hat f(y)| e^ {|x||y|} dxdy=\infty$
Pour ta question, oui l'implication est fausse. En fait, j'aurais du écrire ceci.
Comme hypothèse
$f(x)=O(e^{-ax^2})$ et $\hat f(y) = O(e^{-by^2})$, or $ ab>\frac{1}{4}$ alors $-by^2<-\frac{1}{4a}y^2$ par conséquent,
$\hat f(y) = O(e^{-\frac{1}{4a}y^2})$.
Merci.
$$\int_{\mathbb R^2} e^{-ax^2- \frac{1}{4a}y^2+|x||y|} \mathrm dx \mathrm dy=\infty.
$$ Il suffit juste d'écrire :
$$-ax^2 - \frac{1}{4a}y^2-|x||y| = -a \left (|x|+ \frac{1}{2a}|y| \right ) ^2 ,
$$ et de faire les bons changements de variables.
Mais par contre, si $ab > \frac 1 4$ (strictement, donc), là ça marche (pour la même raison).
D'ailleurs, es-tu sûr que la transformée de Fourier de $x \mapsto e^{-ax^2}$ est bien $y \mapsto e^{-\frac{1}{4a}y^2}$ ?