Caractérisation des valeurs d'adhérence
Bonsoir,
Je viens de voir le résultat suivant :
Soit $(a_n)$ une suite à valeurs dans un espace vectoriel $E$ et $x$ un élément de $E$. Alors $x$ est valeur d'adhérence de la suite $(a_n)$ si et seulement si $\forall \varepsilon >0 \ \forall n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n-x|| \leq \varepsilon$
Exercice :
Montrer que pour tout élément du segment $[-1,1]$ est valeur d'adhérence de la suite $a$ de terme général $a_n= \sin(\sqrt{n})$
Indication : pour $x \in [-1,1]$, on a $x=\sin( \sqrt{t_k})$ avec $t_k=(2 k \pi +Arcsin \ x)^2$
J'ai un doute la suite $(t_k)$ tend vers plus l'infini quand $k$ tend vers plus l'infini ? Le $Arcsin(x)$ me dérange.
Je viens de voir le résultat suivant :
Soit $(a_n)$ une suite à valeurs dans un espace vectoriel $E$ et $x$ un élément de $E$. Alors $x$ est valeur d'adhérence de la suite $(a_n)$ si et seulement si $\forall \varepsilon >0 \ \forall n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n-x|| \leq \varepsilon$
Exercice :
Montrer que pour tout élément du segment $[-1,1]$ est valeur d'adhérence de la suite $a$ de terme général $a_n= \sin(\sqrt{n})$
Indication : pour $x \in [-1,1]$, on a $x=\sin( \sqrt{t_k})$ avec $t_k=(2 k \pi +Arcsin \ x)^2$
J'ai un doute la suite $(t_k)$ tend vers plus l'infini quand $k$ tend vers plus l'infini ? Le $Arcsin(x)$ me dérange.
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Réponses
Ici donner l'indication c'est donner la solution. En effet il n'y a pas besoin de chercher.
Puisque en posant $f(x)=\sin(\sqrt{x}))$ le th des A.F montre que $f(t_k)-f(E(t_k) )$ tend vers $0$
quand $k$ tend vers l'infini.
Je ne travaille presque plus, 30 min par jour maximum.
On fixe $\varepsilon >0$ et $n_0 \in \N$. Montrons qu'il existe $n \geq n_0$ tel que $||a_n-x|| \leq \varepsilon$
Je pose $f(t)= \sin( \sqrt{t})$ pour $t \geq 0$
On a $f'(t)= \dfrac{ \cos (\sqrt{t})}{2 \sqrt{t}}$ et $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} f'(t)=0$ (il y a une coquille dans le livre sur la dérivée il donnent du $\cos(t)$, je l'ai corrigée)
Il existe $R >0$ tel que $\forall t \geq R$, $| f'(t) | \leq \varepsilon$
Pour $k \in \N^{*}$ le réel $t_k=(2k \pi+arcsin(x))^2$ vérifie $f(t_k)=x$.
Fixons une valeur de $k$ telle que $t_k \geq \max(n_0,R)$ (Je ne comprends pas pourquoi une telle valeur de $k$ existe :-S)