Intégrale "à retard" : approximation
Bonjour tout le monde
Je souhaiterais avoir des approximations numériques de $M(x),$ où $M$ est définie de la façon suivante :
* $M(x)=0$ pour $0\leq x<1$
* $M(x)=1$ pour $1\leq x <2$
* Pour $x\geq 2$ on a
$$
M(x)=1+\frac{2}{x-1}\int_0^{x-1}M(t)dt.
$$ (Pour info cette intégrale apparaît dans l'analyse du modèle appelé "Parking de Rényi" : Lien (Wolfram).)
On peut avoir de jolies formes explicites pour $M$ jusqu'à $x=4$, ensuite ça se dégrade. Pour approcher $M$ plus loin j'ai réitéré une approximation intégrales/rectangles pour approcher $M$ sur un intervalle $[n,n+1]$ à partir de $M$ sur $[n-1,n]$. Mais bien sûr mes erreurs se propagent donc ça me paraît très inefficace.
Je n'y connais rien en intégrales "à retard", est-ce que quelqu'un connaît une méthode élégante et efficace numériquement pour approcher $M(x)$ ?
Je souhaiterais avoir des approximations numériques de $M(x),$ où $M$ est définie de la façon suivante :
* $M(x)=0$ pour $0\leq x<1$
* $M(x)=1$ pour $1\leq x <2$
* Pour $x\geq 2$ on a
$$
M(x)=1+\frac{2}{x-1}\int_0^{x-1}M(t)dt.
$$ (Pour info cette intégrale apparaît dans l'analyse du modèle appelé "Parking de Rényi" : Lien (Wolfram).)
On peut avoir de jolies formes explicites pour $M$ jusqu'à $x=4$, ensuite ça se dégrade. Pour approcher $M$ plus loin j'ai réitéré une approximation intégrales/rectangles pour approcher $M$ sur un intervalle $[n,n+1]$ à partir de $M$ sur $[n-1,n]$. Mais bien sûr mes erreurs se propagent donc ça me paraît très inefficace.
Je n'y connais rien en intégrales "à retard", est-ce que quelqu'un connaît une méthode élégante et efficace numériquement pour approcher $M(x)$ ?
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Réponses
Vérifie l'énoncé. Cette fonction se calcule de tête : le membre de droite est la valeur moyenne d'une fonction constante...
J'ai mal lu les bornes de l'intégrale...
en découpant l'intégrale en $[0,x-2]$ et $[x-2,x-1]$, je trouve :
$$M(x)=1 + \frac{x-2}{x-1}(M(x-1)-1)+\frac{2}{x-1} \int_{x-2}^{x-1} M(t) \mathrm dt $$
Cela te montre que l'on peut s'en sortir en calculant une intégrale sur un segment de longueur constante ($=1$), ce qui améliorera peut-être la chose : notamment, pas besoin d'augmenter le nombre de points pour avoir une bonne approximation de l'intégrale
@MathCross : oui tu as bien sûr complètement raison (d'autant que la fonction est monotone et très régulière).
Merci en tout cas de votre intérêt pour ce problème!
Edit : Je joins une capture d'écran de $M$ entre $0$ et $10$.
- en pdf, le graphe sur $[0,200]$ ;
- en faux tex, une liste de valeurs (x,M(x)) ;
- ci-dessous : le graphe sur $[0,10]$ et les points $(x,M(x)/x)$ pour $x\in[0,200]$.
Enfin, le code Sage.def simpson(T,a,b): # si on a une liste de couples (x,y), on ne garde que les y if type(T[0])==type((1,0)): T = [t[1] for t in T] n = (len(T)-1)/2 h = (b-a)/n S = T[0] + T[-1] S+= 2*add(T[2*j] for j in range(1,n)) S+= 4*add(T[2*j-1] for j in range(1,n+1)) return S*h/6 def M(b,p): h = (1/2/p).n() L = [(k*h,0) for k in range(2*p)] L+= [(1+k*h,1) for k in range(2*p)] for j in range(2,b): for k in range(2*p): i, x = j*2*p + k, j+k*h #print L[i-2*p] y = 1 + (x-2)/(x-1)*(L[i-2*p][1]-1) + 2/(x-1)*simpson(L[i-4*p+1:i-2*p+1],x-2,x-1) L.append((x,y)) return L L = M(200,200) list_plot(L,plotjoined=True).save("Lucas.pdf")Edit. Cela dit, en calculant jusqu'à $1000$ par pas de $1/100$, on trouve un coefficient directeur de $0.709$. Le $\sqrt3$ qui m'a tenté un temps perd en plausibilité...
Reedit. Superposition de la courbe de Lucas et de la mienne après changement d'échelle. Plausible que les calculs coïncident.
> Le $\sqrt{3}$ qui m'a tenté un temps perd en plausibilité...
$\sqrt{3}-1$ j'imagine ? J'aurais pu t'épargner ce faux espoir :-) car on sait que (voir le lien que j'ai donné dans le premier message)
$$
\frac{M(x)}x\ \longrightarrow\ \int_0^\infty \exp\left( -2 \int_0^z \frac{1-e^{-y}}{y} dy\right) dz,
$$ qui vaut à peu près $0.747598\ldots$.