Second théorème de Dini

$f$ est continue et bornée sur $A$, donc y est également uniformément continue.

Non, mais le théorème devient faux si $A$ n'est plus compact... Le théorème de Heine n'est valide que sur des compacts !
Exemple : Posons pour $n\geq 0,$ et $x\in \mathbb{R}^{+}$ : $$f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!} \mbox{ et } f(x)=\sum_{k\geq 0}\frac{x^{k}}{k!}=\exp(x).$$
Chaque $f_{n}$ est croissante et continue sur $\mathbb{R}^{+}.$ De plus, la suite de fontions $(f_{n})$ converge simplement vers $f$ (et même uniformément sur toute partie compacte de $\mathbb{R}^{+}$) qui est une fonction continue. Cependant, la convergence ne peut être uniforme sur $\mathbb{R}^{+}$ car alors $f$ serait polynômiale (ce qui est loin d'être le cas).

Bonjour,

BobbyJoe, tu pouvais prendre l'exemple des $f_n:x\mapsto \frac{x}n$ et $f=0$ aussi.

Mais si on dit qu'on est sur un compact $A$ de $\overline{\Bbb R}$, alors on sous-entend par "$f$ continue sur $A$" que $f$ possède des limites [édit : finies] en $\pm\infty$ (si ces bornes sont dans l'adhérence de $A$) et "$f_n:A\to\Bbb R$ croissante" implique $f(A)\subset [f(\min A),f(\max A)]\subset\Bbb R$ donc les $f_n$ sont bornées.
Et le théorème est alors vrai. En effet, on peut appliquer la version "$A$ compact de $\Bbb R$" aux fonctions $g_n:=f_n\circ \tan$ et $g:=f\circ \tan$ définies sur $\arctan(A)$ (par $\tan$ et $\arctan$, je sous-entends leurs prolongements continus $[-\frac\pi2,\frac\pi2] \to \overline{\Bbb R}$ et $\overline{\Bbb R}\to[-\frac\pi2,\frac\pi2]$).
Mais un énoncé plus explicite serait quand même plus clair pour le lecteur.

Une dénomination extrêmement claire! ^^