Intégrales d'Euler

J'ai franchement énormément de mal à suivre et comprendre ce que je suis censé faire. Et je n'ai aucune idée du majorant. Je suis complètement paumé.

Continuons. Nous avons donc une démonstration du fait que $\Gamma$, définie par l'intégrale, est définie et analytique sur le demi-plan $\text{Re}(z) >0$.

Juste pour me convaincre que $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ ne pose pas de problème, je vais l'écrire rapidement.

Puisque $(t^z e^{-t})' = (t^z)'e^{-t} + t^z(e^{-t})' = (t^z)'e^{-t} - t^ze^{-t}$, on a : $t^ze^{-t} = (t^z)'e^{-t} - (t^z e^{-t})' = zt^{z-1}e^{-t} - (t^z e^{-t})'$, donc

$\Gamma(z+1) = \displaystyle \int_0^{\infty}t^z e^{-t}dt = z\int_0^{\infty}t^{z-1} e^{-t}dt - \bigg[ t^z e^{-t} \bigg]_0^{\infty} = z\Gamma(z) - \bigg[ t^z e^{-t} \bigg]_0^{\infty}$
$= z \Gamma(z)$ puisque les deux limites sont nulles.

Donc pour reprendre à peu près à cet endroit. Si je définis $f(z) = \dfrac{\Gamma(z+1)}{z}$ pour $\text{Re}(z) \in ]-1;0]$, on prolonge $\Gamma$ sur toute une bande, sauf en $0$. Par récurrence, on peut prolonger $\Gamma$ sur tout le plan complexe, sauf les entiers négatifs.

Donc a priori, les entiers négatifs sont tous des pôles de la fonction $\Gamma$ étendue. Sans parachuter une autre écriture de la fonction $\Gamma$ comme celle que suggérait Manda (c'est une préférence stylistique de ma part, je regarderai cette formule plus tard), la question est de vérifier que ce sont tous effectivement des pôles.


Je sais que pour tout $z \in \C \setminus(-\N)$ : $f(z) = \dfrac{\Gamma(z+1)}{z}$, où $z \longmapsto \Gamma(z+1)$ est définie pour $\text{Re}(z) > -1$.

Pour $n \in \N$, il faut que je réussisse à écrire $f(z) = \dfrac{g(z)}{(z+n)^k}$ sur un voisinage épointé de $-n$, avec $g$ holomorphe. Effectivement, si $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ est ma seule information "utilisable" à propos de $\Gamma$, je me retrouve bloqué. L'autre méthode mentionnée sur Wikipédia est de vérifier que ma fonction $f$ est non-bornée au voisinage de $-n$, mais que $1/f$ l'est. Du coup, j'ai bien une raison de m'intéresser à $1/\Gamma$ :-D

Donc la question devient, comment trouve-t-on la formule de Weierstrass annoncée par Manda ? Je cherche une fonction, appelons-la $J$, telle que $J(z)\Gamma(z)=1$. Manda parlait de produits infinis de fonctions holomorphes, c'est quelque chose qui ne me dit absolument rien, je sais que je n'ai pas vu ça en cours et il me semble qu'il n'y a rien dessus dans mon bouquin... quelqu'un peut m'expliquer rapidement ?

Je suis bête, en posant $g(z) = \Gamma(z+1)$ c'est bon, j'étais en train de psychoser sur "mais c'est $\Gamma(z+1)$ au dénominateur, pas un truc $(z)$".

Effectivement, ça marche. Donc j'ai tout pour la définition complète de $\Gamma$. Très bien.

Oh mais tu sais, je n'ai pas de réponses "profondes" à ces questions, justement. Je ne suis pas un grand fan des probas alors ça ne me dérange pas trop d'être ignorant sur ça. Cela dit, je ne sais vraiment pas. Les probas à l'université, ça passait de jeux de dés et de cartes à des problèmes abstraits sans expérience qui sert de "contexte", donc je n'ai jamais appris à quoi ça sert de sommer des variables aléatoires, par exemple. Je connais quelques trucs (une binomiale est une somme de Bernoulli indépendantes, par exemple) mais sans plus. La loi exponentielle, je sais qu'elle est sans mémoire, et on nous avait donné comme exemple que ça décrivait le comportement d'un call-center si le paramètre $\lambda$ est le nombre moyen d'appels par heure.

Sinon, franchement, en probas (et en maths appliquées en général, tant qu'on accepte que j'appelle les probas des maths appliquées, ça risque de déplaire à certains) je n'ai pas une culture excellente.

Les maths appliquées à la physique, j'aime bien. L'analyse numérique, la statistique et les maths discrètes, j'ai vraiment du mal à rentrer dedans, à trouver ça "mathématiquement intéressant". C'est juste pas mon truc. Heureusement, il y a plein d'autres domaines en maths pour que j'y trouve mon bonheur.

Je n'ai jamais pris l'initiative d'apprendre à coder par moi-même, ça ne m'attirait pas plus que ça, j'ai d'autres centres d'intérêt. Et les cours de Python à la fac m'en ont carrément dégoûté par après. Il faudrait que je me remette dans le bain, c'était plus ou moins déjà prévu mais pas pour tout de suite. Il y a plus important pour moi : bien maîtriser l'analyse, les Landau, etc. D'ailleurs, le fil que Poirot avait fait spécialement pour moi, il faut que j'y retourne. Vu que ma fonction Gamma, j'ai vu toute sa définition, je peux faire une pause dessus le temps de voir quelle est ma prochaine question à son sujet.

Mais en tout cas oui, je préfère les trucs plus abstraits et algébriques. L'algèbre linéaire et les groupes. Remarque, quand on fait suffisamment de maths, tout se recoupe de toute façon. Je trouvais ça assez rigolo en Master quand on parlait de transformation de Fourier en analyse fonctionnelle, en algèbre (avec les représentations) et en probas en même temps. Je m'attendais clairement à ce que le prof de géo diff nous en sorte une aussi :-D

J'ai identifié ce que j'aimerais faire en prochain avec la fonction Gamma.

Vu comment elle est définie, sa valeur est en soi assez conceptuelle/difficile à calculer. Donc un développement en série ferait du bien. Il faut que je me replonge un peu dans les séries de Laurent, mais même sans ça, pour obtenir un développement en série de Gamma là où elle est définie par une intégrale, ça ne me vient pas tout de suite non plus.

Sur la page Wikipédia, il n'y a que des formulations comme produit infini, aucune série... il y a probablement une raison. Quoi qu'il en soit, une suite qui converge vers $\Gamma(z)$ et permettrait de le calculer, que ce soit sous forme additive ou multiplicative, ça devrait être utile.

A moins qu'on puisse calculer $\Gamma^{(n)}(1)$ pour tout $n$, elle ne permet pas vraiment de calculer la valeur de $\Gamma(z)$, pour moi c'est principalement à ça qu'elle devrait servir.

Ben, oui, ça donnerait une suite qui converge vers $\Gamma(z)$, donc qui permet de calculer des valeurs approchées aussi précises que l'on veut de $\Gamma(z)$. A part ça, je ne sais pas utiliser les séries pour faire grand-chose.

En soi, que ce soit une série, un équivalent ou je ne sais quoi, je ressens juste le besoin d'avoir un moyen de calculer les valeurs de $\Gamma$. Je n'ai pas compris d'où venait l'expression $\dfrac{1}{z} - \gamma + O(z^2)$ et je n'ai pas encore suffisamment intégré le truc pour savoir si $O(z^2)$ signifie que l'approximation est très bonne ou très mauvaise.

EDIT : des $z$ qui s'étaient transformés en $n$ par réflexe...

Et on sait calculer ces valeurs de $\zeta$ si je me souviens bien.

Alors ça ne sert pas à grand-chose en pratique, je trouve.