Image de f’

etanche · June 2021

Bonjour

Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ dérivable avec $\lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{f(x)}{|x|} = + \infty$.
Montrer que $f’(\R) = \R$.

Merci.

Namiswan · June 2021

Simple application du TAF ?

Si $f'$ majorée alors on obtient au voisinage de $+\infty$ une majoration de la forme $f(x)\leq ax+b$, qui contredit l'hypothèse.
Idem si $f'$ minorée en regardant en $-\infty$
On conclut avec Darboux.

gebrane · June 2021

Plus directement on applique le TAF à $\frac{f(x) - f(0)}{x}$ prolongé convenablement en 0

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Bonjour!

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