Comportement d'une série entière près de -1

Pour x=1; ça peut peut-être donner des idées

https://olivier.garet.xyz/agreg/intgauss.pdf

Salut Bisam,

Rien de génial dans ce qui suit, seulement l'expérience d'une question déjà rencontrée:

Il est bien utile ici de disposer de la proposition suivante, que l'on peut établir à l'aide d'une "double sommation d'Abel".

$$\text{Soient}\: (u_n)_{n \in\N}\:\:\text{une suite réelle},\:\: a \in \R, \:\:\text{tels que}\: S_n =\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k, \quad \lim_{n\to+\infty}\dfrac 1n\sum_{k=0}^n S_k=a.\qquad\text{Alors:}\:\: \lim_{x\to 1^-}\sum_{n=0}^{+\infty}u_n x^n =a.$$
Il reste dès lors à effectuer un dénombrement permettant de se convaincre que si $u_n=\left\{ \begin{array}{cl}(-1)^n & \text{si}\: \sqrt n \in \N \\ 0&\text{sinon}.\end{array}\right.,\quad$ alors: $\:\:\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac 1n\sum_{k=0}^n S_k=\dfrac 12.$

$S_n = \left\{ \begin{array}{cl} 1&\text{si}\: \lfloor \sqrt n\rfloor\:\text{est pair}.\\ 0& \text{sinon}.\end{array} \right.\qquad \displaystyle \sum_{k=0}^n S_k = \# \Big \{k\in [\![0;n]\!] \mid \lfloor \sqrt k \rfloor \:\text{est pair}\Big \}=\sum_{0\leqslant p \leqslant \sqrt n /2}\#\Big \{k\in [\![0;n]\!]\mid \lfloor \sqrt k \rfloor =2p \Big\}.$
Cela donne l'encadrement $\displaystyle \sum_{0\leqslant p< \sqrt n /2}(4p+1)\leqslant \sum_{k=0}^n S_k \leqslant \sum_{0\leqslant p \leqslant \sqrt n /2}(4p+1),\:$ qui fournit l'équivalent:$\:\:\displaystyle \sum_{k=0}^n S_k \underset{n \to + \infty}{\sim}\dfrac n2\:$ recherché.

On peut aller plus loin sur le comportement de $f$ au voisinage de $-1$.

On fait le changement de variable $x=-e^{-\pi t}$ de sorte qu'on se ramène à étudier le comportement en $0^+$ de $g(t):=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n e^{-\pi n^2 t}$. En séparant les $n$ pairs et $n$ impairs, et en disant que la somme sur les $n$ impairs est la somme sur tous les entiers naturels moins la somme sur les $n$ pairs, on trouve que $\displaystyle g(t) = 2\sum_{n=0}^{+\infty} e^{-4\pi n^2 t} - \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-\pi n^2 t}$, ce qui donne $g(t)=\dfrac{1}{2}(1+2\theta(4t)-\theta(t))$ où $\theta$ est la fonction de Jacobi définie par $\theta(t) = \displaystyle \sum_{n\in \Z} e^{-\pi n^2 t}$.
Il n'est pas difficile de montrer que $\theta(t)$ tend vers $1$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$, et même que $\theta(t)$ tend exponentiellement vite vers $1$. À partir de là, la célèbre formule $\theta(t) = \dfrac{1}{\sqrt{t}}\theta\left(\dfrac{1}{t}\right)$ montre que $\theta(t) = \dfrac{1}{\sqrt{t}}+\underset{t\rightarrow 0}{o}(t^k)$ quel que soit $k>0$. Ce qui donne finalement $g(t) = \dfrac{1}{2} + \underset{t\rightarrow 0}{o}(t^k)$ pour tout $k>0$, puis $f(x) = \dfrac{1}{2} + \underset{x\rightarrow -1}{o}((x+1)^k)$ pour tout $k>0$.
Donc non seulement $f(x)$ tend vers $\dfrac{1}{2}$ quand $x$ tend vers $-1$, mais en plus, la courbe représentative de $f$ y est particulièrement plate.

Merci à chaurien d'avoir ressorti un précédent fil sur un sujet connexe...
Pour ceux que les fonctions Theta et le triple produit de Jacobi intéressent:

1) Theta Constants, Riemann Surfaces and the Modular Group , Farkas & Kra , AMS, GSM n°37 page 138.

2) Funktionentheorie 2, Remmert & Schumacher, 3. Auflage chez Springer , page 26 avec un éclairage historique.(traduit en anglais dans la série GTM)