Noyau de Dirichlet
Bonjour. J'aimerais avoir de l'aide pour résoudre ce problème.
On considère l'espace $L^1_{2\pi}$ constitué des fonctions $L^1(\mathbb R)$ qui sont $2\pi$-périodiques. On le munit de la norme définie pour tout $f \in L^1_{2\pi}$ par
$$\lVert f \rVert=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \lvert f \rvert dt.
$$ Soit maintenant $N \in \mathbb N$, et $D_N$ l'application définie par : $D_N(t)=\frac{\sin(N+\frac{t}{2})}{\sin(\frac{t}{2})},$ pour tout $t \in \,]0,2\pi[$ et $D_N(0)=D_N(2\pi)=2N+1$.
J'aimerais montrer que $$\lVert D_N \rVert=\frac{4}{\pi^2}\ln(n)+O(1).
$$ Merci pour tout aide.
On considère l'espace $L^1_{2\pi}$ constitué des fonctions $L^1(\mathbb R)$ qui sont $2\pi$-périodiques. On le munit de la norme définie pour tout $f \in L^1_{2\pi}$ par
$$\lVert f \rVert=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \lvert f \rvert dt.
$$ Soit maintenant $N \in \mathbb N$, et $D_N$ l'application définie par : $D_N(t)=\frac{\sin(N+\frac{t}{2})}{\sin(\frac{t}{2})},$ pour tout $t \in \,]0,2\pi[$ et $D_N(0)=D_N(2\pi)=2N+1$.
J'aimerais montrer que $$\lVert D_N \rVert=\frac{4}{\pi^2}\ln(n)+O(1).
$$ Merci pour tout aide.
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Réponses
L'idée est la suivante, il suffit d'intercaler des termes pour rendre certaines intégrales absolument convergentes, de manière à pouvoir lire le terme principal du développement asymptotique de la suite en jeu.
Par symétrie, il vient tout d'abord :
\begin{align*}
\pi\|D_{N}\|_{1} & =\int_{0}^{\pi}\frac{\vert \sin \big((N+\frac{1}{2})t \big)\vert}{\sin(\frac{t}{2})}dt\\
& = \int_{0}^{\pi}\Big\vert \sin\big( (N+\frac{1}{2})t \big)\Big\vert \Big(\frac{1}{\sin(\frac{t}{2})}-\frac{2}{t}\Big)dt+2\int_{0}^{\pi}\frac{\vert \sin\big( (N+\frac{1}{2})t \big)\vert}{t}dt.\\
& = \textbf{(i)} + 2\textbf{(ii)}.
\end{align*} Comme la fonction $\displaystyle t\mapsto \frac{1}{\sin(\frac{t}{2})}-\frac{2}{t}$ est intégrable sur le segment $[0,\pi]$ (et possède même un prolongement $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $[0,\pi]$), on a : $\textbf{(i)}=O(1).$
Ensuite, par un changement de variable, on a pour $N\gg1,$
\begin{align*}
\textbf{(ii)} &=\int_{0}^{(N+\frac{1}{2})\pi}\frac{\vert \sin(t) \vert}{t}dt\\
& =\int_{N\pi}^{(N+\frac{1}{2})\pi}\frac{\vert \sin(t)\vert}{t}dt+ \sum_{k=0}^{N-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\vert \sin(t)\vert\big(\frac{1}{t}-\frac{1}{\pi(k+1)}\big)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\vert \sin(t)\vert dt.\\
& =O(1)+O\Big(\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k^2}\Big)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}\\
& = \frac{2}{\pi}\ln(N) + O(1).
\end{align*} Il vient alors en combinant les différents résultats ainsi obtenus : $\displaystyle \|D_{N}\|_{1}=\frac{4}{\pi^{2}}\ln(N)+O(1).$
Je suis en train de suivre une autre piste de cette démonstration.
J'ai montré que pour $N \in \mathbb N$ fixé et $x\in\, ]0,\pi],\ D_N(x)=\sin(Nx)\cotan(\frac{x}{2})+\cos(Nx)$.
J'aimerais écrire $\cotan(\frac{x}{2})$ sous la forme $\frac{2}{x}+r_N(x)$ avec $\sup\limits_{0<x\le \pi} \lvert r_N(x) \rvert < +\infty$.
Remarque : moi j'ai procédé par un simple développement limité à cette étape, et j'ai montré que la limite est 0 en 0.
Il fallait lire que la fonction possédait $\textbf{de plus}$ un prolongement $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\displaystyle [0,\frac{\pi}{2}].$
Ce dernier point est immédiat si tu t'y connais un peu en fonction holomorphe d'ailleurs (il suffit de remarquer que dans un voisinage de $0,$ la partie polaire de la fonction méromorphe $\displaystyle z\mapsto \frac{1}{\sin(z)}$ est $\displaystyle z \mapsto \frac{1}{z}$).
@Bobbyjoe, pouvez[-vous] s'il vous plaît m'expliquer comment vous faites pour montrer que $$\sum_{k=0}^{N-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\vert\sin(t)\vert\Big(\frac{1}{t}-\frac{1}{\pi(k+1)}\Big)=O\Big(\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k^2}\Big) \qquad?
$$ Merci.
$$\Big\vert \frac{1}{t}-\frac{1}{\pi(k+1)} \Big\vert = \frac{\pi(k+1)-t}{\pi t(k+1)}\leq \frac{\pi}{\pi^{2}k(k+1)}\leq \frac{1}{\pi} \frac{1}{k^2}.
$$ La croissance de l'intégrale permet de conclure vu que l'intervalle d'intégration est de longueur $\pi.$
J'ai un problème car normalement la somme commence à $0$. Mais la vous prenez $k\ge1$. et comment gérer lorsque $k=0$?