Suite numérique pour OShine

Le fameux entier $2n\pi$, très bon choix.

Oui, on te l'a déjà dit 3 fois minimum, donc ou tu ne lis pas, ou tu ne sais pas lire, ou tu oublies, ou tu ne comprends pas la notion de suite extraite. mais je te connais : "je suis en surchauffe, je me perds".

Rappel de cours : une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ (par exemple).
Une suite est donc un cas particulier de fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Toute suite est une fonction si on "bouche les trous" en complétant comme on veut les images des éléments entre chaque entier.
A l'inverse, une fonction peut se restreindre à une suite sur $\mathbb{N}$.
Ainsi, pour composer une suite $u$ à droite par une application $\varphi$, il faut que $\text{Im}(\varphi) \subset \mathbb{N}$ de telle sorte que $u_{\varphi(n)}$ soit bien défini, ce qui n'est pas le cas de tes extractrices. Donc tu quittes le monde des suites pour celui des fonctions et tu ne réponds plus à la question.
Un des exos de base de sup, c'est dans une longue liste de suites, lesquelles sont des sous-suites des autres. Clairement, tu n'es jamais passé par cette étape (comme d'habitude de toute façon, tu n'as jamais bossé les exos de base de n'importe quel chapitre).

Je retente mon exo de base :
Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.
1) Si $f$ admet une limite en $+\infty$, que dire de la suite $(f(n))_n$ ? Et réciproquement ?
2) Si $f$ est croissante, que dire de la suite $(f(n))_n$ ? Et réciproquement ?
3) Si $f$ est bornée, que dire de la suite $(f(n))_n$ ? Et réciproquement ?

Tu peux essayer de trouver des formules mais ça n'est pas obligatoire pour répondre avec succès si tu es vraiment convainquant.

Ce sont des questions assez intéressantes. Par exemple, en spé, la comparaison série intégrale donne souvent la nature de $\left(\int_0^n f(t) dt \right)_n$ et il faut en déduire la nature de l'intégrale impropre $\int_0^{\infty} f(t)dt$ ie $\lim_{x \to +\infty} \int_0^x f(t)dt$. Cela n'a rien d'évident.

Quand tu utilises des phrases "savantes" comme "caractérisation séquentielle de la limite" tu t'égares.

1) Ta caractérisation séquentielle n'est pas correcte énoncée comme ça.

Pour 2) et 3), tu dois continuer à chercher. C'est très important de pouvoir fabriquer des exemples/contrexemples comme ça.

Pour la 2), tu as déjà une partie de la bonne idée, il faut juste que tu réfléchisses 30 secondes de plus (et, une fois de plus, fais un dessin !). Tu penses à une fonction qui oscille, mais qui grimpe globalement quand même. Tu as pensé à $f(x)=x \sin(x)$, c'est déjà très bien, mais il y a un souci : $f(n)$ n'est pas une suite croissante. Si tu fais un dessin de la courbe de $f$, tu dois être capable de placer sur ce dessin les points de la suite strictement croissante que tu essaies de construire. Une fois que tu les as, regarde les abscisses en question, et regarde si tu peux tous les exprimer en fonction d'un entier $n$.

Pour la 3), tu n'es pas loin, mais pas exactement dessus : une fonction qui "oscille et monte très haut", ça reste borné. Nous, on a besoin d'une suite bornée associée à une fonction qui n'est justement pas bornée. Tu connais un exemple de fonction qui n'est pas bornée, mais qui repasse une infinité de fois par les mêmes valeurs. Une fois que tu as trouvé la fonction à laquelle je fais allusion, fais un peu comme je t'ai dit pour la 2) et tu vas y arriver.

Allez, courage.

A propos de la caractérisation séquentielle : il y a une grosse différence entre ce théorème et ce que tu avais écrit. Relis calmement les deux choses côte-à-côte et trouve la différence. Tu dois y arriver.

Et sinon, où sont tes dessins, tu es exaspérant ! Je te dis qu'il faut dessiner $f(x)= x \sin(x)$ et tu reviens me dire "je ne trouve pas le bon exemple" sans avoir fait le dessin. Les exemples sont tout bêtes quand on a la moindre idée de ce avec quoi on travaille, d'où l'intérêt de faire le dessin. Alors allez, dessine-moi cette fonction !

Je ne sais pas comment vous avez la patience de continuer alors qu'il n'écoute presque aucun de vos conseils ! Vous êtes vraiment dévoués ! J'espère qu'on verra un dessin...

Je mélange tout à cause d'un trop grand nombre de questions en parallèle. Je ne suis pas une machine.

Si j'avais qu'une seule question à résoudre, je n'aurais pas fait toutes ces étourderies.

Mais on me rajoute des questions à chaque message et ça me stresse.

Homo TOpi
La voici mais la suite $(f(n))$ n'est pas croissante.

Oui je suis d'accord avec toi Noobey je sens que c'est compliqué avec les fonctions trigo.

Je propose l'application $f : \R \longrightarrow \R \\ x \mapsto \begin{cases}
x \ \text{si} \ x \ \text{est entier}\\
0 \ \text{sinon}
\end{cases}$

La suite $(f(n))$ st croissante mais $f$ n'est pas croissante.

Je propose l'application $g : \R \longrightarrow \R \\ x \mapsto \begin{cases}
1 \ \text{si} \ x \ \text{est entier}\\
x \ \text{sinon}
\end{cases}$

La suite $(f(n))$ est bornée mais $f$ ne l'est pas.

OShine a écrit:

Je mélange tout à cause d'un trop grand nombre de questions en parallèle. Je ne suis pas une machine....
Mais on me rajoute des questions à chaque message et ça me stresse.

Tu sais OShine tu n'as pas d'employeur à qui rendre des comptes ici, tu peux dire à tous ceux qui te rajoutent des questions que tu préfères terminer la question en cours.

Tu peux aussi voir que toutes les questions qu'on te pose sont étroitement liées. Le genre de connexion que tu ne fais jamais dans les sujets de concours que tu traites...

@AD désolé j'essaie de ne pas ouvrir plus de 2 sujets en même temps.

@Homo Topi

Je n'ai pas réussi.

J'ai déjà essayé cet après-midi je ne vois pas. Ca change tout le temps.

OShine : tu veux me dire sérieusement que tu arrives à regarder ce graphe sans voir "hm, chaque sommet est plus haut que le précédent" ?

Homo Topi je ne vois pas pour quels abscisses sont atteints les maximums locaux.

Serge oui je vois.

L'application n'est même pas périodique ça m'a l'air bien compliqué.

$f(x)=x \sin(x)$

$f'(x)=\sin(x)+ x \cos(x)$ je ne sais même pas trouver les racines de $f'(x)=0$.

J'ai donné des exemples plus simples non ? Noobey a peut être raison.

Bon, OShine, visiblement tu es totalement dépassé par ce truc relativement simple.

Pose $g(x)=x\sin(2\pi x)$. Elle oscille en montant, comme l'autre, mais elle a la gentillesse de vérifier $g(n) = 0$ pour tout entier $n$. Tu es censé savoir, à ton niveau, que $\sin(2n \pi) = 0$ pour tout $n$, donc c'était à toi de voir comment bidouiller $x\sin(x)$ pour y arriver.

Homo Topi oui $g(n)=0$ mais alors ? En quoi ça répond au problème :-S

On est d'accord ,je vais poser une question: est ce qu'une partie dénombrable dans R admet un plus petit élément?

Dans un style un peu différent, que penser de $\mathbb Z$ ?

Il me semble que mon exemple convient dans ce cas.

Le truc, c'est que tu aurais dû la trouver tout seul. Et regarde, la réflexion pour y arriver n'est même pas si tordue que ça, tu n'étais pas loin.

1) Je veux extraire une suite croissante d'une fonction qui n'est pas croissante. Un truc du style $x\sin(x)$ c'est pas mal, on voit au moins sur un graphe que ça oscille en montant. Il y en a d'autres, $e^x\sin(x)$ par exemple... celle-là est un peu difficile à visualiser sur GeoGebra à cause de la croissance rapide de l'exponentielle, mais par exemple $e^{x/4}\sin(4x)$ se visualise assez bien. J'ai l'impression que de multiplier une sinusoïde par une fonction positive croissante ça marche à chaque fois, il n'y a pas de règle qui permet dans tous les cas de trouver si une fonction $fg$ est croissante ou décroissante à partir du sens de variation de $f$ et $g$, mais on n'en a pas forcément besoin ici.

Tu as sûrement vu des choses comme ça en physique, en mécanique avec les systèmes amortis et en électromag avec les circuits RLC, on a des équa diff d'ordre $2$ où les solutions sont des sinusoïdes amorties par une exponentielle décroissante. Ici c'est la même idée, sauf qu'on "amplifie" la sinusoïde par un truc croissant.

2) En attendant, $n\sin(n)$, ce n'est pas croissant, puisque $\sin(n)$ change de signe régulièrement. Comme c'est ça norte problème, on commence à bidouiller. Si je pouvais faire en sorte que mon sinus reste positif tout le temps, c'est bon. Ben ça, en soi, ce n'est pas compliqué : je sais que $\sin(\pi/2)=1$, et ça c'est positif. Je sais aussi que je peux faire autant de tours autour du cercle que je veux sans que ça perturbe mon sinus : $\sin(\pi/2 + n\times(2\pi)) = 1$ pour tout $n$. La voilà ma suite, $n\sin(\pi/2 + 2n\pi)$ c'est égal à $n$, donc c'est croissant selon $n$. Quand je reviens à une variable réelle, $x\sin(\pi/2 + 2\pi x)$, ça oscille. Terminé.

Question subsidiaire, je ne sais pas si $f(x)\sin(x)$ est toujours un "oscillateur croissant" quand $f$ est positive et croissante. A voir...

EDIT : $(x-2)\sin(x)$ en est un, donc le caractère positif a l'air superflu.
Re-EDIT : c'est un oscillateur croissant quand on ne dézoome pas assez sur Geogebra pour voir qu'il est décroissant jusqu'en $x=2$.

Typiquement pour tracer le graphe d'une telle fonction on trace f et -f, puis on s'amuse à faire un truc qui oscille bien en cognant sur les deux courbes que tu as faites. Si ça peut t'aider.

Rescassol : ironiquement, j'étais toujours hors-circuit en physique !

Bonjour.

Pour Homo Topi, la modulation d'amplitude devrait éclairer un peu tes considérations sur la croissance et décroissance de $f$, vue comme signal modulant.

Cordialement.

Dreamer : oui, c'est typique de certains effets musicaux pour guitare électrique ou synthétiseur électronique. Je connais "grossièrement" le principe, la question c'est comment démontrer quelles sont les variations de $f \times \sin$ à partir de celles de $f$.