$\sin(\frac{a}{b}\pi)$ est-il algébrique ?

Quentino37 · June 2021

Bonjour ! J'ai une petite question, est-ce que $\sin(\frac{a}{b}\pi)$ avec $a$ et $b$ des entiers relatifs est forcément un nombre algébrique ?

noix de totos · June 2021

Regarde du côté des polynômes de Chebyshev.

Amédé · June 2021

Bonjour, $\quad \sin\Big(\dfrac{\pi}{6}\Big)$ ?

Quentino37 · June 2021

Amédé. C'est-à-dire ? Sauf erreur $ \sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$.

Id Est · June 2021

Bonjour,

Une fois remarqué que $z \in \mathbb{C}$ est algébrique ssi $\Re(z)$ et $\Im(z)$ le sont,
le théorème de Gelfond-Schneider apporte une réponse à cette question.

Cordialement

Amédé · June 2021

Quentino37 : c'était pour dire qu'il en existe plein qui sont algébriques. Par contre je ne comprends pas en quoi le théorème de Gelfond-Schneider apporte une réponse à la question.

708 · June 2021

$\exp(2\pi ir)$ est algébrique si $r=a/b$, avec $a$ et $b$ entiers, parce qu'il est annulé par $X^{b}-1$

Donc, $\exp(-2\pi ir) = 1/\exp(2\pi ir)$ est aussi algébrique.

Donc $\frac{\exp(2\pi ir) + \exp(-2\pi ir)}{2}$ est algébrique.

Donc, $\cos(2\pi r)$ est algébrique.

noix de totos · June 2021

Mon indication n'intéresse personne ?

Pourtant, si $T_n$ désigne le $n$- ème polynôme de Chebyshev, à quoi est égal $T_b \left ( \cos \frac{a \pi}{b} \right) $, où $a,b$ sont entiers, $b \neq 0$ ? Qu'en déduit on pour $\cos \frac {a\pi}{b}$ ?

Georges Abitbol · June 2021

@noix de totos : Oh, si, moi, ça m'intéresse, et ça me donne même envie de revoir ces polynômes que j'ai boudés pendant mes études !

noix de totos · June 2021

Merci, Georges, ça me donne l'impression d'être moins seul...

Audeo · June 2021

Moi aussi je trouve cela intéressant, il fallait y penser !

Riemann_lapins_cretins · June 2021

Bien vu noix de totos en effet.

Autre question pour ma part : sait-on caractériser les rationnels qui sont tels que le nombre qui nous intéresse soit lui aussi rationnel ?
Merci à vous.

Guego · June 2021

$\cos(\frac{p}{q}\pi)$ (avec $p$ et $q$ premiers entre eux et $q>0$) est rationnel si et seulement si $q\in \{1,2,3\}$. C'est l'objet d'une partie d'un vieux problème d'agreg. Ça se fait par les polynômes de Tchebychev, comme l'a suggéré noix de totos.

Math Coss · June 2021

Notons que $c=\sin\bigl(\frac{a}b\pi\bigr)=\cos\bigl(\frac{b-2a}{2b}\pi\bigr)=\cos\bigl(\frac{a'}{b'}\pi\bigr)=(z+z^{-1})/2$, où $z=\exp\bigl(\frac{a'}{b'}\pi\bigr)$.
Comme NdT l'a déjà dit, $2c$ est un entier algébrique donc si c'est un rationnel, c'est aussi un entier « tout court ». Comme $2c$ est compris entre $-2$ et $2$, on a $c\in\bigl\{0,\pm\frac12,\pm1\bigr\}$. Il est facile de terminer.

Riemann_lapins_cretins · June 2021

Merci à vous deux !
Je crois qu'il faut que je rafraîchisse et approfondisse mes connaissances en théorie des corps, notamment pour le "donc" de Math Coss.

Quentino37 · June 2021

Merci beaucoup à tous!

PS: noix de totos je ne t'avait pas oublié! (j'avait lu ton message ce matin mais je n'ai pas eu le temps d'y répondre)

Math Coss · June 2021

Petit codicille pour Riemann_lapins_cretins : le « donc » est quelque chose de très simple caché derrière des gros mots – le point un peu délicat dans cette histoire est avant, c'est de montrer que la somme de deux entiers algébriques en est un aussi (ça se fait typiquement avec le résultant).

Au fait : si un rationnel $x=p/q$ (avec $p\wedge q=1$) est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers dont le coefficient dominant est $1$, alors c'est un entier ($q=\pm1$). Il suffit d'écrire l'équation, disons $x^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kx^k=0$, et de chasser les dénominateurs : \[p^n+q\sum_{k=0}^{n-1}a_kp^kq^{n-k-1}=0\]donc $q$ divise $p^n$ puis $q=\pm1$ par le lemme de Gauss et l'hypothèse $p\wedge q=1$.