$\sin(\frac{a}{b}\pi)$ est-il algébrique ?
dans Analyse
Bonjour ! J'ai une petite question, est-ce que $\sin(\frac{a}{b}\pi)$ avec $a$ et $b$ des entiers relatifs est forcément un nombre algébrique ?
Je suis donc je pense
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Une fois remarqué que $z \in \mathbb{C}$ est algébrique ssi $\Re(z)$ et $\Im(z)$ le sont,
le théorème de Gelfond-Schneider apporte une réponse à cette question.
Cordialement
Donc, $\exp(-2\pi ir) = 1/\exp(2\pi ir)$ est aussi algébrique.
Donc $\frac{\exp(2\pi ir) + \exp(-2\pi ir)}{2}$ est algébrique.
Donc, $\cos(2\pi r)$ est algébrique.
Pourtant, si $T_n$ désigne le $n$- ème polynôme de Chebyshev, à quoi est égal $T_b \left ( \cos \frac{a \pi}{b} \right) $, où $a,b$ sont entiers, $b \neq 0$ ? Qu'en déduit on pour $\cos \frac {a\pi}{b}$ ?
Autre question pour ma part : sait-on caractériser les rationnels qui sont tels que le nombre qui nous intéresse soit lui aussi rationnel ?
Merci à vous.
Comme NdT l'a déjà dit, $2c$ est un entier algébrique donc si c'est un rationnel, c'est aussi un entier « tout court ». Comme $2c$ est compris entre $-2$ et $2$, on a $c\in\bigl\{0,\pm\frac12,\pm1\bigr\}$. Il est facile de terminer.
Je crois qu'il faut que je rafraîchisse et approfondisse mes connaissances en théorie des corps, notamment pour le "donc" de Math Coss.
PS: noix de totos je ne t'avait pas oublié! (j'avait lu ton message ce matin mais je n'ai pas eu le temps d'y répondre)
Au fait : si un rationnel $x=p/q$ (avec $p\wedge q=1$) est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers dont le coefficient dominant est $1$, alors c'est un entier ($q=\pm1$). Il suffit d'écrire l'équation, disons $x^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kx^k=0$, et de chasser les dénominateurs : \[p^n+q\sum_{k=0}^{n-1}a_kp^kq^{n-k-1}=0\]donc $q$ divise $p^n$ puis $q=\pm1$ par le lemme de Gauss et l'hypothèse $p\wedge q=1$.