Quel problème peut être modélisé ainsi ?
Bonjour. J'aimerais savoir si quelqu'un peu me donner un problème de la vie réelle qui peut-être modélisé de la manière suivante.
$$
\left\{\ \begin{array}{rcl}
\frac{\partial^2 u_{\epsilon}}{\partial t^2}-\mathrm{div}\Big( A\big(\frac{x}{\epsilon}\big)Du_{\epsilon}\Big)+h\Big(\frac{x}{\epsilon},\frac{t}{\epsilon},\frac{t}{\epsilon^k},u_{\epsilon},Du_{\epsilon}\Big) =f ,&~& \text{dans}\ Q=\Omega\times(0,T)\\
u_{\epsilon}=0 ,& &\text{sur} \ \partial \Omega\times(0,T),\quad (k>0)\\
u_{\epsilon}(x,0)=\frac{\partial u_{\epsilon}}{\partial t}(x,0)=0 ,& & \text{dans} \ \Omega.
\end{array}
\right.
$$ En donnant bien sûr à quoi correspondent $h$, $A$, $f$ et $\Omega$ dans ce problème.
Merci.
$$
\left\{\ \begin{array}{rcl}
\frac{\partial^2 u_{\epsilon}}{\partial t^2}-\mathrm{div}\Big( A\big(\frac{x}{\epsilon}\big)Du_{\epsilon}\Big)+h\Big(\frac{x}{\epsilon},\frac{t}{\epsilon},\frac{t}{\epsilon^k},u_{\epsilon},Du_{\epsilon}\Big) =f ,&~& \text{dans}\ Q=\Omega\times(0,T)\\
u_{\epsilon}=0 ,& &\text{sur} \ \partial \Omega\times(0,T),\quad (k>0)\\
u_{\epsilon}(x,0)=\frac{\partial u_{\epsilon}}{\partial t}(x,0)=0 ,& & \text{dans} \ \Omega.
\end{array}
\right.
$$ En donnant bien sûr à quoi correspondent $h$, $A$, $f$ et $\Omega$ dans ce problème.
Merci.
Réponses
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Ce problème peut modéliser le phénomène de diffusion thermique dans une barre de fer ($\Omega$) pendant un intervalle de temps $T$. $u_\varepsilon$ étant une fonction inconnue qui mesure la température à l'instant $t$ au point $x$ de $\Omega$. $f$ le terme source (de la chaleur), $h$ ( je ne sais pas à quoi correspond ce dernier pourtant il est non linéaire et fait en sorte que le problème soit dissipatif!!!!).On suppose que la température initiale de la tige est nulle, et qu'à tout instant, la température est nulle sur le bord de $\Omega$. Comment interprêter la condition $\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t}(x,0)=0$??
-
Bonjour,
Très intéressant. J'attends impatiemment que poli12 réponde à la question de poli12 envoyée en réponse à la demande de poli12. -
Non, je plaisante.
Ton interprétation en terme de chaleur m'étonne. L'équation de la chaleur possède une dérivée temporelle d'ordre 1, alors que là tu as une dérivée temporelle d'ordre 2. Je veux bien admettre qu'on rajoute des termes pour rendre plus précis le modèle de la diffusion de la chaleur, mais pas qu'on change l'ordre de la dérivation temporel parce que c'est lui qui fait que la diffusion de la chaleur est irréversible (i.e. l'ensemble des solutions n'est pas stable par le changement de variable $t \leadsto-t$).
Ça ressemble plutôt à une équation des ondes. $A$ décrit l'(an)isotropie de la diffusion. Si $A\equiv {\rm cste}\cdot I_n$, alors ${\rm div}(A\cdot Du_\epsilon)={\rm cste}\cdot \Delta u_\epsilon$, donc la diffusion est isotrope. Si au contraire, $A$ est une matrice de projection alors la diffusion ne pourra se faire que dans certaines directions, par exemple. $f$ est un terme source. $\Omega$ est le domaine de diffusion de l'onde. Et $h$ est un terme dissipatif. Par exemple, si le contexte est la diffusion d'une onde le long d'une corde, les mouvements de la corde provoquent la conversion d'une partie de l'énergie mécanique en énergie thermique, donc on peut imaginer que $h$ soit proportionnel à $Du_\epsilon$, ou $u_\epsilon$... ou quelque chose comme ça.
Edit : Pour le terme dissipatif, je ne suis pas sûr. À confirmer. -
C'est l'évolution temporelle de $u_\epsilon$. Qu'est-ce que tu veux que je te dise de plus ?
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J'aimerais savoir ce que vous entendez par (an)isotropie du milieu de la diffusion? Et aussi savoir l'importance qu'on a à étudier un tel phénomène (celui de la diffusion d'une onde le long d'une corde) dans la vie pratique?
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Je constate qu'un milieu est dit isotrope lorsque ses propriétés sont identiques quelques soit la direction de l'observation. exemple les liquide et les solides amorphes. Mais je n'ai pas eu de réponse sur l'importance d'une telle étude.. Je n'avais pas compris vos dires.
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Apparemment, tu as trouvé la définition d'isotropie tout seul.poli12 a écrit:Et aussi savoir l'importance qu'on a à étudier un tel phénomène (celui de la diffusion d'une onde le long d'une corde) dans la vie pratique?
Si "la vie pratique" c'est aller faire ses courses, prendre le bus, etc., alors non ça ne sert à rien dans "la vie pratique". Mais étudier la propagation d'ondes dans différents matériaux a évidemment des applications en ingénierie. Mais je ne suis pas ingénieur, donc je ne peux pas te raconter de cas appliqués que je connaîtrais. -
Bonjour,
Je ne connais pas de système physique dignement modélisé par ce système à cause du terme $h$ qui n’est pas forcément une divergence.
Sinon, ça ressemble furieusement à la propagation d’onde dans un milieu anisotrope.
$t$ est le temps
$x$ est la position dans le domaine $\Omega$
$u$ est le déplacement du milieu
$A$ est une matrice caractéristique du milieu
$\varepsilon$ est un paramètre quelconque
Les conditions sont l’absence de déplacement au bord du domaine, des déplacements nuls et des vitesses de déplacements nulles au temps initial.
La source est $f$ : c’est elle qui lance la propagation d’ondes de déplacement dans le milieu.
Dans la modélisation classique des problèmes physiques (que je connais), le terme $h$ doit être une divergence (de l’écart de contrainte viscoélastique à élastique).
Onde sismique, onde dans un fluide, déformation viscoélastique dans un matériau, etc.
Enfin, le système n’est pas amorti puisqu’il ne contient pas de dérivée première temporelle. -
Bon après midi. ceci peut-il aller?
L'équation pourrait modéliser le phénomène de propagation d'une onde dans un domaine $\Omega$. Et dans ce cas le réel $\varepsilon>0$ traduirait l'hétérogénéité du milieu, $u_{\varepsilon}(t,x)$ le déplacement de onde à l'instant $t$ et à la position $x$. $A$ décrirait les propriétés anisotrope du milieu, $f$ le terme source (ce qui lance la propagation d'onde dans le milieu), et $h$ un terme dissipatif (par exemple, si le contexte est la propagation d'une onde le long d'une corde, les mouvements de la corde provoquent la conversion d'une partie de l'énergie mécanique en énergie thermique, donc on peut imaginer que $h$ soit une fonction de $u_{\varepsilon}$ et $Du_{\varepsilon}$). De plus, Les conditions sont l’absence de déplacement au bord du domaine, des déplacements nuls et des vitesses de déplacements nulles au temps initial. -
Bonjour,
Le paramètre $\varepsilon$ ne représente pas grand chose (tout au plus un lien d'échelle entre les coordonnées et le temps : autrement dit rien de bon dans ce problème) et sûrement pas l'hétérogénéité du milieu.
Je ne sais pas interpréter $h$ puisqu'il n'est pas forcément une divergence, donc je ne valide pas ton interprétation (mais elle peut être correcte, je n'en sait rien). enfin, si la température intervenait, on la verrait dans les paramètres, non ? J'éviterai de mentionner des paramètres qui n'existent pas.
$h$ est une caractéristique du sytème. Et je crois qu'on peut pas en dire beaucoup plus. -
J'avais dit au début que je pensais que $h$ est un terme dissipatif, puis j'avais ajouté dans un édit que je n'en suis finalement pas sûr et que ce n'est peut-être pas ça ( http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2262996,2263110#msg-2263110 ). Je pense qu'un terme dissipatif devrait induire une irréversibilité temporelle, ce qui n'est pas forcément le cas ici (si $h$ ne dépend en fait pas de $t$, mais juste de $x$, $u_\epsilon$ et $Du_\epsilon$), donc c'est pour ça que je doute.
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Bonjour!
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