Suite minimisante

Bonjour,
dans la preuve du théorème de projection sur un convexe fermé $K$ dans un Hilbert $H$.

Si $x\in H$, il existe un unique $y\in K$ tel que $||x-y||=\inf\limits_{z\in K}||x-z||=\delta$ et $y$ est caractérisé par ...

On commence par introduire une suite minimisante (c'est assez classique pour les problèmes de minimisation) $(y_{n})_{n\in\N^{*}}\in K^{\N}$ telle que $||x-y_{n}||\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\delta$.

Pour justifier que cette suite existe toujours on dit que par définition de la borne inférieure. On a pour tout $n\in\N^{*}$ : il existe $y_{n}\in K$ tel que $\delta\leq||x-y_{n}||\leq \delta+\dfrac{1}{n}$ ? Donc la justification. Ça ne me semble pas suffisant.