Une somme
Réponses
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$\int_0^xe^{c\sqrt{t}}dt=\frac{2}{c^2} ((c\sqrt{x}-1)e^{c\sqrt{x}}+1)$ et donc en gros $P_k\leq C\sqrt{k}e^{c\sqrt{k}}.$ On doute fort que ce que tu demandes soit vrai.
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Merci il y avait en fait une erreur de variable dans mon cours.
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Bonjour, je n'arrive pas à montrer que $$
\forall n\in \mathbb N,\ c\in \mathbb R_+,\quad \sum_{k=0}^ne^{c\sqrt{k}}e^{c\sqrt{n+1-k}}\leq e^{2c\sqrt{n+1}}.
$$Merci pour votre aide. -
Tu es sur? n'as tu pas remplace $e^{c\sqrt{k}}$ par $e^{c\sqrt{n}}$ et par erreur? et cela parait bien faux quand $c$ est petit,
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Ah oui effectivement je n'ai pas vu la faute de frappe désolé, c'est corrigé :-D
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Bonjour
L'inégalité que tu veux démontrer est manifestement fausse. -
Soyons un peu plus précis : il est facile de vérifier que la fonction $x \mapsto \sqrt x + \sqrt{n+1-x}$ admet sur $\left[ 0,n \right]$ un maximum en $x = \frac{1}{2}(n+1)$ valant $\sqrt{2n+2}$. Si $S_n$ est la somme, on en déduit
$$S_n \leqslant (n+1) e^{c\sqrt{2n+2}}.$$
On peut alors chercher des conditions suffisantes sur $c \geqslant 0$ pour que le membre de droite soit $\leqslant e^{2 c \sqrt{n+1}}$ pour tout $n \geqslant 0$ : par exemple, c'est le cas si $c \geqslant e^{-1} \left( 2 + \sqrt 2 \right) \approx 1,256$ -
Merci noix de totos c'est suffisant pour ce que je cherchais, une telle constante :-)! Parfois on dirait que certains intervenants peuvent lire dans les pensées ou mieux, comme ici. Je pensais que c'était vrai pour tout $c$ et tout $n$ mais je n'avais essayé que sur quelques valeurs.
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La question était de démontrer l'inégalité pour tout $c>0$ . En faisant tendre $c$ vers 0, c'était facile de [voir] que la question était fausse.
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C'est bien pour ça que j'ai voulu être plus précis : on voyait bien que l'inégalité pouvait être vraie dans une région convenable pour $c$.
On peut parfois (essayer de) prolonger la question d'un demandeur, si c'est possible. -
Bien entendu, on peut prolonger et par ailleurs c'est intéressant. Mais mon point de vue (que je n'applique pas toujours ..) c'est de dire juste ce qu'il faut pour faire réagir le questionneur.
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D'accord. On ne se contredit donc pas c'est l'essentiel
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Bonjour!
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