Une somme

$\int_0^xe^{c\sqrt{t}}dt=\frac{2}{c^2} ((c\sqrt{x}-1)e^{c\sqrt{x}}+1)$ et donc en gros $P_k\leq C\sqrt{k}e^{c\sqrt{k}}.$ On doute fort que ce que tu demandes soit vrai.

Soyons un peu plus précis : il est facile de vérifier que la fonction $x \mapsto \sqrt x + \sqrt{n+1-x}$ admet sur $\left[ 0,n \right]$ un maximum en $x = \frac{1}{2}(n+1)$ valant $\sqrt{2n+2}$. Si $S_n$ est la somme, on en déduit
$$S_n \leqslant (n+1) e^{c\sqrt{2n+2}}.$$
On peut alors chercher des conditions suffisantes sur $c \geqslant 0$ pour que le membre de droite soit $\leqslant e^{2 c \sqrt{n+1}}$ pour tout $n \geqslant 0$ : par exemple, c'est le cas si $c \geqslant e^{-1} \left( 2 + \sqrt 2 \right) \approx 1,256$

La question était de démontrer l'inégalité pour tout $c>0$ . En faisant tendre $c$ vers 0, c'était facile de [voir] que la question était fausse.

Bien entendu, on peut prolonger et par ailleurs c'est intéressant. Mais mon point de vue (que je n'applique pas toujours ..) c'est de dire juste ce qu'il faut pour faire réagir le questionneur.